3. Binomische Formel
In diesem Kapitel schauen wir uns die 3. Binomische Formel etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein Binom?
- Binomische Formeln
Einordnung
In der Mathematik kommt es häufig vor, dass zwei Binome miteinander multipliziert werden. Dabei kommen insbesondere folgende drei Aufgabenstellungen vor:
$(a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2$$(a - b) \cdot (a - b) = (a - b)^2$$(a + b) \cdot (a - b)$
Um die Berechnung dieser Produkte zu vereinfachen, verwenden wir die binomischen Formeln:
| 1. Binomische Formel (Plus-Formel) | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ |
| 2. Binomische Formel (Minus-Formel) | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ |
| 3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel) | $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$ |
Formel
3. Binomische Formel
$$ (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 $$
In der Schule lernt man meist zwei Möglichkeiten kennen, um die 3. Binomische Formel herzuleiten: Die algebraische und die geometrische Herleitung. Der Einfachheit halber beschränken wir uns im Folgenden auf die algebraische Herleitung.
Algebraische Herleitung
Wie man Klammern ausmultipliziert, haben wir bereits im Kapitel Ausmultiplizieren besprochen. In dem entsprechenden Kapitel steht:
Eine Klammer wird mit einer Klammer multipliziert, indem jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert wird.
$$ \begin{align*} ({\color{red}a}+{\color{maroon}b}) \cdot (a-b) &= {\color{red}a} \cdot a + {\color{red}a} \cdot (-b) + {\color{maroon}b} \cdot a + {\color{maroon}b} \cdot (-b) \\[5px] &= a \cdot a \underbrace{\,- \, a \cdot b + a \cdot b}_{= \, 0} - b \cdot b \\[5px] &= a \cdot a - b \cdot b \\[5px] &= a^2 - b^2 \end{align*} $$
Anmerkung: Das Kommutativgesetz erlaubt das Vertauschen von $b \cdot a$ (2. Zeile) in $a \cdot b$.
Anwendungen
Ausmultiplizieren
Wir müssen ausmultiplizieren, wenn $(a+b) \cdot (a-b)$ gegeben und $a^2 - b^2$ gesucht ist.
Quadrat des 1. Glieds berechnen
Quadrat des 2. Glieds berechnen
$$ \begin{array}{ccccc} ({\color{red}a}+{\color{maroon}b}) \cdot ({\color{red}a}-{\color{maroon}b}) & = & {\color{red}a}^2 & - & {\color{maroon}b}^2 \\ &&\downarrow&&\downarrow \\ &&\text{Quadrat}&&\text{Quadrat} \\ &&\text{1. Glied}&&\text{2. Glied} \\ &&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow} \\ &&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}} \end{array} $$
Berechne den Term $(x+5) \cdot (x-5)$.
$$ \begin{array}{ccccc} ({\color{red}x}+{\color{maroon}5}) \cdot ({\color{red}x}-{\color{maroon}5}) & = & {\color{red}x}^2 & - & {\color{maroon}5}^2 \\ & = & x^2 & - & 25 \\ &&\downarrow&&\downarrow \\ &&\text{Quadrat}&&\text{Quadrat} \\ &&\text{1. Glied}&&\text{2. Glied} \end{array} $$
Berechne den Term $(2x+3) \cdot (2x-3)$.
$$ \begin{array}{ccccc} ({\color{red}2x}+{\color{maroon}3}) \cdot ({\color{red}2x}-{\color{maroon}3}) & = & ({\color{red}2x})^2 & - & {\color{maroon}3}^2 \\ & = & 4x^2 & - & 9 \\ &&\downarrow&&\downarrow \\ &&\text{Quadrat}&&\text{Quadrat} \\ &&\text{1. Glied}&&\text{2. Glied} \end{array} $$
Durch Anwendung der 3. Binomischen Formel wird das Ausmultiplizieren von Termen der Form $(a+b) \cdot (a-b)$ erheblich vereinfacht. Ohne die Formel müssten wir nämlich jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizieren:
$$ \begin{align*} ({\color{red}2x}+{\color{maroon}3}) \cdot (2x-3) &= {\color{red}2x} \cdot 2x + {\color{red}2x} \cdot (-3) + {\color{maroon}3} \cdot 2x + {\color{maroon}3} \cdot (-3) \\[5px] &= 4x^2 - 6x + 6x - 9 \\[5px] &= 4x^2 - 9 \end{align*} $$
Faktorisieren
Wir müssen faktorisieren, wenn $a^2 - b^2$ gegeben und $(a+b) \cdot (a-b)$ gesucht ist.
Basen der beiden Quadrate berechnen
Produkt aus Summe und Differenz der Basen bilden
$$ \begin{array}{ccccc} a^2 & - & b^2 & = & ({\color{red}a}+{\color{red}b}) \cdot ({\color{red}a}-{\color{red}b}) \\ \downarrow&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}a}$)}&&\text{(Basis ${\color{red}b}$)}&& \\ &&&& \\ {\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow} \\ {\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}} \end{array} $$
zu 1)
$a$ und $b$ sind die Basen (Einzahl: Basis) der Potenzen $a^2$ und $b^2$.
Eine Potenz mit einem Exponenten von $2$ bezeichnet man auch als Quadrat.
Um die Basis (z. B. $a$) eines Quadrats (z. B. $a^2$) zu berechnen, müssen wir die Wurzel ziehen.
Wandle den Term $x^2 - 25$ in ein Produkt um.
Basen der beiden Quadrate berechnen
$$ a^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{a^2} = \sqrt{x^2} = {\color{red}x} $$
$$ b^2 = 25 \: \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{b^2} = \sqrt{25} = {\color{red}5} $$
Produkt aus Summe und Differenz der Basen bilden
$$ \begin{array}{ccccc} x^2 & - & 25 & = & ({\color{red}x}+{\color{red}5}) \cdot ({\color{red}x}-{\color{red}5}) \\ \downarrow&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}x}$)}&&\text{(Basis ${\color{red}5}$)}&& \end{array} $$
Wandle den Term $4x^2 - 9$ in ein Produkt um.
Basen der beiden Quadrate berechnen
$$ a^2 = 4x^2 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{a^2} = \sqrt{4x^2} = {\color{red}2x} $$
$$ b^2 = 9\phantom{x^2} \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{b^2} = \sqrt{9} = {\color{red}3} $$
Produkt aus Summe und Differenz der Basen bilden
$$ \begin{array}{ccccc} 4x^2 & - & 9 & = & ({\color{red}2x}+{\color{red}3}) \cdot ({\color{red}2x}-{\color{red}3}) \\ \downarrow&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}2x}$)}&&\text{(Basis ${\color{red}3}$)}&& \end{array} $$
