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3. Binomische Formel

In diesem Kapitel schauen wir uns die 3. Binomische Formel etwas genauer an.

Notwendiges Vorwissen: Binomische Formeln

3. Binomische Formel

\((a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2\)

In der Schule lernt man meist zwei Möglichkeiten kennen, um die 3. Binomische Formel herzuleiten: Die algebraische und die geometrische Herleitung. Der Einfachheit halber beschränken wir uns im Folgenden auf die algebraische Herleitung.

Algebraische Herleitung

Wie man Klammern ausmultipliziert, haben wir bereits im Kapitel Ausmultiplizieren besprochen. In dem entsprechenden Kapitel steht...

Eine Klammer wird mit einer Klammer multipliziert, indem
jedes Glied der ersten Klammer
mit jedem Glied der zweiten Klammer
multipliziert wird.

\(\begin{align*}
&\phantom{=} ({\color{red}a}+{\color{maroon}b}) \cdot (a-b)\\
&= {\color{red}a} \cdot a + {\color{red}a} \cdot (-b) + {\color{maroon}b} \cdot a + {\color{maroon}b} \cdot (-b)\\
&= a \cdot a - a \cdot b + a \cdot b - b \cdot b\\
&= a^2 - b^2
\end{align*}\)

Anmerkung: Das Kommutativgesetz erlaubt das Vertauschen von \(b \cdot a\) (2. Zeile) in \(a \cdot b\).

Aufgabenstellungen

Zu Recht fragst du dich jetzt: „Wozu brauche ich die 3. Binomische Formel überhaupt?“

Im Zusammenhang mit der 3. Binomischen Formel gibt es zwei populäre Aufgabenstellungen:

  1. Gegeben ist ein Term der Form \((a+b) \cdot (a-b)\).
    Ziel: Term ausmultiplizieren
    Ergebnis: \(a^2 - b^2\)

  2. Gegeben ist ein Term der Form \(a^2 - b^2\).
    Ziel: Term faktorisieren
    Ergebnis: \((a+b) \cdot (a-b)\)

3. Binomische Formel - Ausmultiplizieren

Wir müssen ausmultiplizieren, wenn \((a+b) \cdot (a-b)\) gegeben und \(a^2 - b^2\) gesucht ist.

Vorgehensweise

1.) Quadrat des ersten Glieds berechnen
2.) Quadrat des zweiten Glieds berechnen

\(\begin{array}{ccccc}
({\color{red}a}+{\color{maroon}b}) \cdot ({\color{red}a}-{\color{maroon}b}) & = & {\color{red}a}^2 & - & {\color{maroon}b}^2\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
&&\text{Quadrat}&&\text{Quadrat}\\
&&\text{1. Glied}&&\text{2. Glied}\\
&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}\\
&&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}}
\end{array}\)

Beispiele

Berechne den Term \((x+5) \cdot (x-5)\).

\(\begin{array}{ccccc}
({\color{red}x}+{\color{maroon}5}) \cdot ({\color{red}x}-{\color{maroon}5}) & = & {\color{red}x}^2 & - & {\color{maroon}5}^2\\
& = & x^2 & - & 25\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
&&\text{Quadrat}&&\text{Quadrat}\\
&&\text{1. Glied}&&\text{2. Glied}
\end{array}\)

Berechne den Term \((2x+3) \cdot (2x-3)\).

\(\begin{array}{ccccc}
({\color{red}2x}+{\color{maroon}3}) \cdot ({\color{red}2x}-{\color{maroon}3}) & = & ({\color{red}2x})^2 & - & {\color{maroon}3}^2\\
& = & 4x^2 & - & 9\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
&&\text{Quadrat}&&\text{Quadrat}\\
&&\text{1. Glied}&&\text{2. Glied}
\end{array}\)

Durch Anwendung der 3. Binomischen Formel wird das Ausmultiplizieren von Termen der Form \((a+b) \cdot (a-b)\) erheblich vereinfacht. Ohne die Formel müssten wir nämlich jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizieren:

\(\begin{align*}
&\phantom{=} ({\color{red}2x}+{\color{maroon}3}) \cdot (2x-3)\\
&= {\color{red}2x} \cdot 2x + {\color{red}2x} \cdot (-3) + {\color{maroon}3} \cdot 2x + {\color{maroon}3} \cdot (-3)\\
&= 4x^2 - 6x + 6x - 9\\
&= 4x^2 - 9
\end{align*}\)

3. Binomische Formel - Faktorisieren

Wir müssen faktorisieren, wenn \(a^2 - b^2\) gegeben und \((a+b) \cdot (a-b)\) gesucht ist.

Vorgehensweise

1.) Basen der beiden Quadrate berechnen
2.) Produkt aus Summe und Differenz der Basen bilden

zu 1.)

\(a\) und \(b\) sind die Basen (Einzahl: Basis) der Potenzen \(a^2\) und \(b^2\).
Eine Potenz mit einem Exponenten von \(2\) bezeichnet man auch als Quadrat.

Um die Basis (z.B. \(a\)) eines Quadrats (z.B. \(a^2\)) zu berechnen, müssen wir die Wurzel ziehen.

\(\begin{array}{ccccc}
a^2 & - & b^2 & = & ({\color{red}a}+{\color{red}b}) \cdot ({\color{red}a}-{\color{red}b})\\
\downarrow&&\downarrow&&\\
\text{Quadrat}&&\text{Quadrat}&&\\
\text{(Basis \({\color{red}a}\))}&&\text{(Basis \({\color{red}b}\))}&&\\
&&&&\\
{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}\\
{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}}
\end{array}\)

Beispiele

Gegeben ist der Term \(x^2 - 25\).
Wandle den Term in ein Produkt um!

1.) Basen der beiden Quadrate berechnen

\(a^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{a^2} = \sqrt{x^2} = {\color{red}x}\)

\(b^2 = 25 \: \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{b^2} = \sqrt{25} = {\color{red}5}\)

2.) Produkt aus Summe und Differenz der Basen bilden

\(\begin{array}{ccccc}
x^2 & - & 25 & = & ({\color{red}x}+{\color{red}5}) \cdot ({\color{red}x}-{\color{red}5})\\
\downarrow&&\downarrow&&\\
\text{Quadrat}&&\text{Quadrat}&&\\
\text{(Basis \({\color{red}x}\))}&&\text{(Basis \({\color{red}5}\))}&&
\end{array}\)

Gegeben ist der Term \(4x^2 - 9\).
Wandle den Term in ein Produkt um!

1.) Basen der beiden Quadrate berechnen

\(a^2 = 4x^2 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{a^2} = \sqrt{4x^2} = {\color{red}2x}\)

\(b^2 = 9\phantom{x^2} \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{b^2} = \sqrt{9} = {\color{red}3}\)

2.) Produkt aus Summe und Differenz der Basen bilden

\(\begin{array}{ccccc}
4x^2 & - & 9 & = & ({\color{red}2x}+{\color{red}3}) \cdot ({\color{red}2x}-{\color{red}3})\\
\downarrow&&\downarrow&&\\
\text{Quadrat}&&\text{Quadrat}&&\\
\text{(Basis \({\color{red}2x}\))}&&\text{(Basis \({\color{red}3}\))}&&
\end{array}\)

Die binomischen Formeln auf einen Blick

Klick auf den Namen einer Formel, um zu den Erklärungen und Beispielen zu gelangen.

1. Binomische Formel
(Plus-Formel)
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
2. Binomische Formel
(Minus-Formel)
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
3. Binomische Formel
(Plus-Minus-Formel)
\((a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2\)

Die binomischen Formeln sind so wichtig, dass du sie auswendig können solltest!

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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