Ableitung e-Funktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Ableitung einer e-Funktion berechnet.

e-Funktion Ableitung e-Funktion
\(f(x) = e^x\) \(f'(x) = e^x\)

Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion. Das kann man sich leicht merken. Schwieriger wird es jedoch, wenn nicht nur ein \(x\) im Exponenten steht. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.

Die Kettenregel wird in den folgenden Beispielen als bekannt vorausgesetzt.

Beispiel 1

\(f(x) = e^{2x}\)

  • Für die äußere Funktion gilt: \(g(x) = e^x \quad \rightarrow \quad g'(x) = e^x\).
  • Für die innere Funktion gilt: \(h(x) = 2x \quad \rightarrow \quad h'(x) = 2\).

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel für die Kettenregel ein

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

\(f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}\)

Beispiel 2

\(f(x) = e^{x^2 + x}\)

  • Für die äußere Funktion gilt: \(g(x) = e^x \quad \rightarrow \quad g'(x) = e^x\).
  • Für die innere Funktion gilt: \(h(x) = x^2 + x \quad \rightarrow \quad h'(x) = 2x + 1\).

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel für die Kettenregel ein

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

\(f'(x) = e^{x^2 + x} \cdot \left(2x + 1\right)\)

Die Beispiele haben gezeigt, welch große Rolle die Kettenregel bei der Ableitung der e-Funktion spielt. Gerade bei komplizierten Funktionen lohnt es sich, zunächst die äußere Funktion und die inneren Funktion zu identifizieren und diese getrennt voneinander abzuleiten. Danach setzt man die Zwischenergebnisse in die Formel ein, um die korrekte Ableitung der e-Funktion zu erhalten.

e-Funktionen ableiten

Im Folgenden findest du vier Lernvideos, in denen das Ableiten von e-Funktionen ausführlich erklärt wird. Dabei wird auf alle Ableitungsregeln anhand verständlicher Beispiele eingegangen.

Faktorregel / Kettenregel

In diesem Mathe Video (6:27 min) wird dir die Anwendung der Faktorregel sowie der Kettenregel anhand einer Exponentialfunktion (e-Funktion) gezeigt.

Mehr zur Potenzregel und zur Kettenregel...

Summenregel / Differenzregel

In diesem Mathe Video (2:30 min) wird dir die Anwendung der Summenregel sowie der Differenzregel anhand einer Exponentialfunktion (e-Funktion) gezeigt.

Mehr zur Summenregel und zur Differenzregel...

Produktregel

In diesem Mathe Video (2:44 min) wird dir die Anwendung der Produktregel anhand einer Exponentialfunktion (e-Funktion) gezeigt.

Mehr zur Produktregel...

Quotientenregel

In diesem Mathe Video (3:15 min) wird dir die Anwendung der Quotientenregel anhand einer Exponentialfunktion (e-Funktion) gezeigt.

Mehr zur Quotientenregel...

Mehr zum Thema Ableitungen

Es gibt einige Funktionen, von denen man die Ableitungen auswendig wissen sollte:

  Funktion Ableitungsfunktion
Ableitung Potenzfunktion \(f(x) = x^n\) \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
Ableitung Wurzel \(f(x) = \sqrt{x}\) \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Ableitung e-Funktion \(f(x) = e^x\) \(f'(x) = e^x\)
Ableitung Logarithmus \(f(x) = \ln(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{x}\)
Ableitung Sinus \(f(x) = \sin(x)\) \(f'(x) = \cos(x)\)
Ableitung Cosinus \(f(x) = \cos(x)\) \(f'(x) = -\sin(x)\)
Ableitung Tangens \(f(x) = \tan(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!