Ableitung Sinus

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Ableitung vom Sinus ist.

Sinus Ableitung Sinus
\(f(x) = \sin(x)\) \(f'(x) = \cos(x)\)

Sich die Ableitung vom Sinus zu merken, ist eigentlich einfach. Wenn allerdings nicht nur ein \(x\) als Argument in der Sinusfunktion steht, wird es schon etwas schwieriger. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.

Die Kettenregel wird in den folgenden Beispielen als bekannt vorausgesetzt.

Beispiel 1

\[f(x) = \sin(2x)\]

  • Für die äußere Funktion gilt: \(g(x) = \sin(x) \quad \rightarrow \quad g'(x) = \cos(x)\).
  • Für die innere Funktion gilt: \(h(x) = 2x \quad \rightarrow \quad h'(x) = 2\).

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel für die Kettenregel ein

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

\[f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)\]

Beispiel 2

\[f(x) = \sin(x^2 + x)\]

  • Für die äußere Funktion gilt: \(g(x) = \sin(x) \quad \rightarrow \quad g'(x) = \cos(x)\).
  • Für die innere Funktion gilt: \(h(x) = x^2 + x \quad \rightarrow \quad h'(x) = 2x + 1\).

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel für die Kettenregel ein

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

\[f'(x) = \cos(x^2 + x) \cdot (2x + 1)\]

Die Beispiele haben gezeigt, welch große Rolle die Kettenregel bei der Ableitung vom Sinus spielt. Gerade bei komplizierten Funktionen lohnt es sich, zunächst die äußere Funktion und die inneren Funktion zu identifizieren und diese getrennt voneinander abzuleiten. Danach setzt man die Zwischenergebnisse in die Formel ein, um die korrekte Ableitung vom Sinus zu erhalten.

Mehr zum Thema Ableitungen

Es gibt einige Funktionen, von denen man die Ableitungen auswendig wissen sollte:

  Funktion Ableitungsfunktion
Ableitung Potenzfunktion \(f(x) = x^n\) \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
Ableitung Wurzel \(f(x) = \sqrt{x}\) \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Ableitung e-Funktion \(f(x) = e^x\) \(f'(x) = e^x\)
Ableitung Logarithmus \(f(x) = \ln(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{x}\)
Ableitung Sinus \(f(x) = \sin(x)\) \(f'(x) = \cos(x)\)
Ableitung Cosinus \(f(x) = \cos(x)\) \(f'(x) = -\sin(x)\)
Ableitung Tangens \(f(x) = \tan(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!