Ableitung Tangens
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Ableitung vom Tangens ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Was ist eine Ableitungsfunktion?
- Ableitungsregeln
Formel
| Tangens | Ableitung Tangens |
|---|---|
$f(x) = \tan(x)$ | $f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ |
Dabei gilt: $\cos^2(x) = (\cos(x))^2$
Sich die Ableitung vom Tangens zu merken, ist eigentlich einfach. Wenn allerdings nicht nur ein $x$ als Argument in der Tangensfunktion steht, wird es schon etwas schwieriger. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.
Beispiele
Berechne die Ableitung der Tangensfunktion $f(x) = \tan(2x)$.
Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten
Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = \tan(2x)$ ist
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = \tan(x)$ | $$g'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$$ |
$h(x) = 2x$ | $$h'(x) = 2$$ |
Verkettete Funktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{1}{\cos^2 (2x)} \cdot 2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{2}{\cos^2 (2x)} $$
Berechne die Ableitung der Tangensfunktion $f(x) = \tan(x^2 + x)$.
Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten
Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = \tan(x^2 + x)$ ist
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = \tan(x)$ | $$g'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$$ |
$h(x) = x^2 + x$ | $$h'(x) = 2x + 1$$ |
Verkettete Funktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{1}{\cos^2 (x^2 + x)} \cdot (2x + 1) $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{2x + 1}{\cos^2 (x^2 + x)} $$
