Abnahme

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Abnahme in der Mathematik bedeutet.

Viele Abnahmevorgänge lassen sich mathematisch erfassen und beschreiben. Je nach Art der Abnahme kann man verschiedene Typen unterscheiden. Die beiden wichtigsten sind:

a) Lineare Abnahme

Für lineare Abnahme ist eine konstante Abnahme
in gleichen Zeitspannen charakteristisch.

Beispiel

In einer 5. Klasse befinden sich 32 Schüler.
Jedes Schuljahr verlassen 2 Schüler die Klasse.
\(\Rightarrow\) Die Schülerzahl nimmt konstant um 2 Schüler ab.

Lineare Abnahme: Graph


Im Rahmen der linearen Abnahme haben wir es mit fallenden Geraden zu tun.

b) Exponentielle Abnahme

Für exponentielle Abnahme ist eine konstante prozentuale Abnahme
in gleichen Zeitspannen charakteristisch.

Beispiel

Ein kleines Dorf mit 250 Einwohnern ist vom Aussterben bedroht.
Jedes Jahr wandern 5 % der Dorfbewohner ab.
\(\Rightarrow\) Die Einwohnerzahl nimmt konstant um 5 % ab.

Exponentielle Abnahme: Graph


Im Rahmen der exponentiellen Abnahme haben wir es mit fallenden Kurven zu tun.

Lineare und exponentielle Abnahme

Zwischen linearer und exponentieller Abnahme gibt es einige interessante Unterschiede:

  Lineare Abnahme Exponentielle Abnahme
Charakteristikum Konstante Abnahme Konstante prozentuale Abnahme
Beschreibung durch Lineare Funktionen Exponentialfunktionen
Graph Fallende Gerade Fallende Exponentialkurve
Rekursive Darstellung \(B(t+1) = B(t) + {\color{red}m}\) \(B(t+1) = B(t) \cdot {\color{red}q}\)
Explizite Darstellung \(B(t) = {\color{red}m} \cdot t + b\) \(B(t) = B(0) \cdot {\color{red}q}^t\)
Änderungsrate
(Abnahmerate)
\(\Delta B(t) = {\color{red}m}\)
\(\Rightarrow\) konstant
\(\Delta B(t) = B(t) \cdot ({\color{red}q} - 1)\)
\(\Rightarrow\) proportional zum aktuellen Bestand
  ...mit \({\color{red}m < 0}\) ...mit \({\color{red}0 < q < 1}\)
Beispiel - Abbau von Alkohol im Blut

- Radioaktiver Zerfall

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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

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