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Abschnittsweise definierte Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was abschnittsweise definierte Funktionen sind.

Bislang hatten wir es immer mit Funktionen zu tun, die - abgesehen von Definitionslücken - in ganz \(\mathbb{R}\) definiert waren. Funktionen können aber auch nur für einen Teil von \(\mathbb{R}\) definiert sein.


Beispiel

Normalerweise ist die lineare Funktion \(f(x) = x\) in ganz \(\mathbb{R}\) definiert.


Wir können jedoch die Definitionsmenge der Funktion beliebig einschränken, z. B. auf das Intervall \([-1;2]\).

Eine Funktion, die sich aus mehreren dieser Funktionen zusammensetzt, die nur für einen bestimmten Abschnitt auf der Zahlengeraden definiert sind, heißt „abschnittsweise definiert“.


Die Abbildung zeigt den Graphen einer abschnittsweise definierten Funktion.

In diesem Fall ist die Definitionsmenge der Funktion in drei Teilintervalle (Abschnitte) unterteilt, für die die Funktion jeweils einen eigenen Funktionsterm besitzt.

Die Funktionsgleichung der abschnittsweise definierten Funktion des obigen Beispiels ist

\(f(x) =
\begin{cases}
-x + 2 &\text{für } x \in \; ]-\infty;-1[\\
x &\text{für } x \in [-1;2]\\
-x+4 &\text{für } x \in \; ]2;\infty[
\end{cases}\)

Alternative Schreibweise:

\(f(x) =
\begin{cases}
-x + 2 &\text{für } x < -1\\
x &\text{für } -1 \leq x \leq 2\\
-x+4 &\text{für } x > 2
\end{cases}\)

Eine abschnittsweise definierte Funktion ist eine Funktion,
die aus zwei oder mehreren Funktionen zusammengesetzt ist,
wobei die einzelnen Funktionen für unterschiedliche Abschnitte
auf der Zahlengeraden definiert sind.

Folgende abschnittsweise definierte Funktionen sind besonders bekannt:


Die Betragsfunktion

\(|x| =
\begin{cases}
-x &\text{für } x < 0\\
x &\text{für } x \geq 0
\end{cases}\)


Die Signumfunktion

\(\text{sgn}(x) =
\begin{cases}
-1 &\text{für } x < 0\\
0 &\text{für } x = 0\\
+1 &\text{für } x > 0
\end{cases}\)

Im Rahmen einer Kurvendiskussion interessiert man sich häufig für das Verhalten einer abschnittsweisen definierten Funktion beim Übergang von einem Teilintervall zum anderen.

Der Übergang von einem Teilintervall zum anderen heißt Nahtstelle.

Beispiel

Die Nahtstellen der Funktion

\(f(x) =
\begin{cases}
-x + 2 &\text{für } x < -1\\
x &\text{für } -1 \leq x \leq 2\\
-x+4 &\text{für } x > 2
\end{cases}\)

sind bei \(x = -1\) und \(x = 2\).

Abschnittsweise definierte Funktionen werden uns wieder bei der Untersuchung der Stetigkeit von Funktionen begegnen. Zur Info: Die Betragsfunktion ist stetig, die Signumfunktion unstetig.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!