Abstand
paralleler Geraden

In diesem Kapitel wollen wir den Abstand paralleler Geraden berechnen.

Mit Abstand ist hier die kürzeste Strecke zwischen zwei Geraden gemeint.

Der Abstand zweier paralleler Geraden \(\text{g}_1\) und \(\text{g}_2\) ist der Abstand eines beliebigen Punktes \(\text{P} \in \text{g}_2\) von der Geraden \(\text{g}_1\).

Alternativ kann man natürlich auch den Abstand eines beliebigen Punktes \(\text{P} \in \text{g}_1\) von der Geraden \(\text{g}_2\) berechnen.

Wenn du bereits weißt, wie man den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnet, dann bereitet dir dieses Thema keine Schwierigkeiten. Das Vorgehen ist nahezu identisch. Zu Beginn ist lediglich ein Punkt einer Geraden zu bestimmen. Am einfachsten ist es, wenn man den Aufpunkt der Geraden wählt, denn dieser lässt sich einfach ablesen und muss nicht extra berechnet werden.

Vorgehensweise

  1. Aufpunkt der Geraden \(\text{g}_2\) wird als Punkt P festgelegt
  2. Ebene in Normalenform aufstellen
    \(\rightarrow\) als Normalenvektor dient der Richtungsvektor der Geraden \(\text{g}_1\)
    \(\rightarrow\) als Aufpunkt dient der Punkt P
  3. Normalenform in Koordinatenform umwandeln
  4. Gerade \(\text{g}_1\) in die umgeformte Ebenengleichung einsetzen
  5. \(\lambda\) berechnen
  6. \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen (ergibt Schnittpunkt S)
  7. Verbindungsvektor \(\vec{SP}\) des Schnittpunktes S mit dem Punkt P berechnen
  8. Länge des Verbindungsvektors \(|\vec{SP}|\) berechnen

Die Idee hinter dieser Vorgehensweise wird dir im Artikel Abstand Punkt-Gerade erklärt.

Beispiel

Berechne den Abstand \(d\) der parallelen Geraden

\(\text{g}_1:\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\(\text{g}_2:\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)

1.) Punkt P festlegen

Als Punkt P nehmen wir den Aufpunkt der Geraden \(\text{g}_2\).

\(\vec{p} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\)

2.) Ebene in Normalenform aufstellen

Eine Ebene E ist eindeutig bestimmt durch einen Punkt (Aufpunkt) \(\vec{a}\) und einen Normalenvektor \(\vec{n}\) (steht senkrecht auf der Ebene).

Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:

\(\text{E: }\quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}]\)

In unserem Fall gilt

  • Normalenvektor \(\vec{n}\) = Richtungsvektor der Geraden \(g_1\)
  • Aufpunkt \(\vec{a}\) = Punkt P

\(\text{E: }\quad \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right] \)

3.) Normalenform in Koordinatenform umwandeln

Durch Ausmultiplizieren (Skalarprodukt) gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.

Rechnung 1

\(\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = -4x_1 + x_2 + x_3\)

Rechnung 2 (Bitte das negative Vorzeichen nicht vergessen!)

\(\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[-\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -0 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix} =-4 \cdot (-0) + 1 \cdot (-5) + 1\cdot (-6) = -11\)

Zusammenfassung (= Ebenengleichung in Koordinatenform)

\(-4x_1 + x_2 + x_3 - 11 = 0\)

4.) Gerade g in umgeformte Ebenengleichung einsetzen

\(-4(2-4\lambda) + (\lambda) + (1 + \lambda) - 11 = 0\)

5.) \(\lambda\) berechnen

\(-8 + 16\lambda + \lambda + 1 + \lambda - 11 = 0\)

\(-18 + 18\lambda = 0\)

\(18\lambda = 18\)

\(\lambda = 1\)

6.) \(\lambda\) in Geradengleichung einsetzen

Wir setzen \(\lambda = 1\) in die Geradengleichung ein

\(\text{g: }\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

um den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden g zu berechnen:

\(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\(\vec{s} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

7.) Verbindungsvektor \(\vec{SP}\) des Schnittpunktes S mit dem Punkt P berechnen

\(\vec{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \)

8.) Länge des Verbindungsvektors \(|\vec{SP}|\) berechnen

\(|\vec{SP}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{36} = 6\)

Antwort: Der Abstand der parallelen Geraden beträgt 6 Längeneinheiten.

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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

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