Abstand windschiefer Geraden
In diesem Kapitel wollen wir den Abstand windschiefer Geraden berechnen.
Mit Abstand
ist hier die kürzeste Strecke zwischen zwei Geraden gemeint.
Anleitung
Ebene in Normalenform aufstellen
Normalenform in Koordinatenform umwandeln
Koordinatenform in Hessesche Normalenform umwandeln
Aufpunkt der Gerade $\boldsymbol{g_2}$ in Hessesche Normalenform einsetzen
Beispiel
Berechne den Abstand $d$ der beiden windschiefen Geraden
$$ g_1\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ g_2\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Ebene in Normalenform aufstellen
Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:
$$ E\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{p}] = 0 $$
In unserem Fall gilt
- Normalenvektor
$\vec{n}$= Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden - Aufpunkt
$\vec{p}$= Aufpunkt von$g_1$
Zunächst berechnen wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren…
$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 2-0 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$
…danach stellen wir die Ebenengleichung in Normalenform auf:
$$ E\colon\; \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \right] = 0 $$
Normalenform in Koordinatenform umwandeln
Durch Ausmultiplizieren (Skalarprodukt) gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.
$$ \begin{align*} \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\right] &= \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \vec{x} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\[5px] &= \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\[5px] &= -3x_1 + 2x_2 - x_3 - 28 = 0 \end{align*} $$
Koordinatenform in Hessesche Normalenform umwandeln
Wenn wir die Koordinatenform aus Schritt 2 durch die Länge des Normalenvektors dividieren, liegt die Ebene in Hessescher Normalenform vor.
Die Länge des Normalenvektors berechnet sich zu
$$ |\vec{n}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14} $$
Die Hessesche Normalenform unserer Ebenengleichung lautet entsprechend
$$ \frac{1}{\sqrt{14}}[-3x_1 + 2x_2 - x_3 - 28] = 0 $$
Aufpunkt der Gerade $\boldsymbol{g_2}$ in Hessesche Normalenform einsetzen
Im letzten Schritt setzen wir einen beliebigen Punkt der Gerade $g_2$ in die Hessesche Normalenform ein. Der Einfachheit halber nehmen wir den Aufpunkt der Gerade $g_2$, da dieser sich einfach ablesen lässt.
Einsetzen von $({-3}|{-3}|3)$ in die Hessesche Normalenform ergibt den Abstand der windschiefen Geraden
$$ \begin{align*} d &= \left|\frac{1}{\sqrt{14}}[-3 \cdot (-3) + 2 \cdot (-3) - 3 - 28]\right| \\[5px] &= \left|\frac{1}{\sqrt{14}}[9 - 6 - 3 - 28]\right| \\[5px] &= \left|\frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (-28)\right| \\[5px] &\approx |-7{,}48| \\[5px] &\approx 7{,}48 \end{align*} $$
Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt ungefähr 7,48 Längeneinheiten.
Hinweis: Da ein Abstand nie negativ sein kann, müssen wir Betragsstriche setzen.
