Abstand
windschiefer Geraden

In diesem Kapitel wollen wir den Abstand windschiefer Geraden berechnen.

Mit Abstand ist hier die kürzeste Strecke zwischen zwei Geraden gemeint.

Folgende Themen werden vorausgesetzt

Abstand windschiefer Geraden mit Hilfsebene

Vorgehensweise

  1. Ebene in Normalenform aufstellen
    \(\rightarrow\) der Normalenvektor entspricht dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren
    \(\rightarrow\) der Aufpunkt entspricht dem Aufpunkt von \(\text{g}_1\)
  2. Normalenform in Koordinatenform umwandeln
  3. Normalenform in Hessesche Normalenform umwandeln
  4. Aufpunkt der Geraden \(\text{g}_2\) in Hessesche Normalenform einsetzen

Beispiel

Berechne den Abstand \(d\) der beiden windschiefen Geraden

\(\text{g}_1:\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

\(\text{g}_2:\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

1.) Ebene in Normalenform aufstellen

Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:

\(\text{E: }\quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{p}]\)

In unserem Fall gilt

  • Normalenvektor \(\vec{n}\) = Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden
  • Aufpunkt \(\vec{p}\) = Aufpunkt von \(\text{g}_1\)

Zunächst berechnen wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren...

\(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 2-0 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)

...danach stellen wir die Ebenengleichung in Normalenform auf:

\(\text{E: }\quad \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\right]\)

2.) Normalenform in Koordinatenform umwandeln

Durch Ausmultiplizieren (Skalarprodukt) gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.

Rechnung 1

\(\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = -3x_1 + 2x_2 - x_3\)

Rechnung 2 (Hier muss das negative Vorzeichen vor dem \(\lambda\) beachtet werden!)

\(\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \left[-\begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\right] =\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = -28\)

Zusammenfassung (= Ebenengleichung in Koordinatenform)

\(-3x_1 + 2x_2 - x_3 - 28 = 0\)

3.) Normalenform in Hessesche Normalenform umwandeln

Wenn wir die Koordinatenform aus Schritt 2 durch die Länge des Normalenvektors dividieren, liegt die Ebene in Hessescher Normalenform vor.

Die Länge des Normalenvektors berechnet sich zu

\(|\vec{n}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}\)

Die Hessesche Normalenform unserer Ebenengleichung lautet entsprechend

\(\frac{1}{\sqrt{14}}[-3x_1 + 2x_2 - x_3 - 28] = 0\)

4.) Aufpunkt der Geraden \(\text{g}_2\) in Hessesche Normalenform einsetzen

Im letzten Schritt setzen wir einen beliebigen Punkt der Geraden \(\text{g}_2\) in die Hessesche Normalenform ein. Der Einfachheit halber nehmen wir den Aufpunkt der Geraden \(\text{g}_2\), da dieser sich einfach ablesen lässt.

Einsetzen von (-3|-3|3) in die Hessesche Normalenform

\(d =\left| \frac{1}{\sqrt{14}}[-3 \cdot (-3) + 2 \cdot (-3) - 3 - 28]\right| = \left|\frac{1}{\sqrt{14}}[9 - 6 - 3 - 28]\right| =\left|\frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (-28)\right|\)

\(d \approx |-7,48| \approx 7,48\)

ergibt den Abstand der windschiefen Geraden.

Hinweis: Da ein Abstand nur positive Werte annehmen darf, müssen wir die Rechnung in Betragsstrichen durchführen.

Antwort: Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt ungefähr 7,48 Längeneinheiten.

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Andreas Schneider

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Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

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Dein Andreas

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