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Abstand zweier Punkte

Häufig ist nach dem Abstand zweier Punkte gefragt. Dabei handelt es sich um eine Standardaufgabe der Vektorrechnung, die immer nach folgendem Schema gelöst werden kann.

Vorgehensweise

  1. Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) der beiden Punkte A und B berechnen
    (siehe Artikel Vektor zwischen zwei Punkten)
  2. Länge des Vektors \(\vec{AB}\) berechnen
    (siehe Artikel Betrag eines Vektors)

Im Folgenden betrachten wir zwei Beispiele, in denen der Abstand zweier Punkte nach dem obigen Schema berechnet wird.

Abstand zwischen zwei Punkten - Beispiel 1

Gegeben sind die beiden Punkte A (7|4|2) und B (3|7|2).

Berechne den Abstand zwischen den Punkten A und B.

1.) Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) berechnen

\[\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

2.) Länge des Vektors \(\vec{AB}\) berechnen

\[\left|\vec{AB}\right| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5\]

Antwort: Der Abstand zwischen den Punkten A und B beträgt 5 Längeneinheiten.

Abstand zwischen zwei Punkten - Beispiel 2

Gegeben sind die beiden Punkte A (12|-5|-5) und B (8|3|-4).

Berechne den Abstand zwischen den Punkten A und B.

1.) Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) berechnen

\[\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}\]

2.) Länge des Vektors \(\vec{AB}\) berechnen

\[\left|\vec{AB}\right| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9\]

Antwort: Der Abstand zwischen den Punkten A und B beträgt 9 Längeneinheiten.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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