Additionsverfahren
In diesem Kapitel schauen wir uns das Additionsverfahren an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein lineares Gleichungssystem?
- Wie löst man lineare Gleichungen?
Einordnung
Das Additionsverfahren ist ein Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.
Anleitung
Gleichungen so umformen, dass die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen werden
Gleichungen addieren
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
Berechneten Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen und zweiten Wert berechnen
Lösungsmenge aufschreiben
zu 1)
Eine Zahl unterscheidet sich von ihrer Gegenzahl durch ihr Vorzeichen.
Damit die Koeffizienten der Variablen Gegenzahlen werden, bilden wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Koeffizienten und formen die Gleichungen anschließend entsprechend um.
Beispiele
Der Einfachheit halber beschränken wir uns im Folgenden auf lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Bei größeren Gleichungssystemen (z. B. 3 Gleichungen mit 3 Variablen) wendet man in der Regel den Gauß-Algorithmus an, welcher auf dem Additionsverfahren basiert.
Eine Lösung
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 2x + 3y &= 14 \\ x + 2y &= 8 \end{align*} $$
mithilfe des Additionsverfahrens.
Gleichungen so umformen, dass die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen werden
Wir entscheiden uns dafür, die Koeffizienten der Variable $x$ zu Gegenzahlen zu machen.
Dazu bilden wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Koeffizienten von $x$:
$$ \text{kgV}(1;2) = 2 $$
Damit in einer Gleichung eine $2$ und in der anderen Gleichung eine $-2$ vor dem $x$ steht, müssen wir lediglich die 2. Gleichung mit $-2$ multiplizieren:
$$ \begin{align*} 2x + 3y &= 14 \\ x + 2y &= 8 \qquad |\, \cdot (-2) \end{align*} $$
$$ \begin{align*} 2x + 3y &= 14 \\ -2x - 4y &= -16 \end{align*} $$
Gleichungen addieren
Jetzt addieren wir die beiden Gleichungen, wodurch die Variable $x$ eliminiert wird. Übrig bleibt:
$$ -y = -2 $$
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
Wir lösen die eben berechnete Gleichung nach $y$ auf, indem wir mit $-1$ multiplizieren:
$$ -y = -2 \qquad |\, {\color{orange}\cdot (-1)} $$
$$ -y {\color{orange} \: \cdot \: (-1)} = -2 {\color{orange} \: \cdot \: (-1)} $$
$$ y = 2 $$
Berechneten Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen und zweiten Wert berechnen
Wir setzen $y = 2$ in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein, um $x$ zu berechnen:
$$ \begin{align*} 2x + 3 \cdot 2 &= 14 \\ x + 2 \cdot 2 &= 8 \end{align*} $$
Unabhängig davon, welche der beiden Gleichungen wir nach $x$ auflösen, das Ergebnis ist dasselbe:
$$ x = 4 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{(4|2)\} $$
Anmerkung
$(4|2)$ ist ein Tupel, wobei zuerst der $x$-Wert und dann der $y$-Wert genannt wird.
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 2x + y &= 4 \\ 3x + 2y &= 5 \end{align*} $$
mithilfe des Additionsverfahrens.
Gleichungen so umformen, dass die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen werden
Wir entscheiden uns dafür, die Koeffizienten der Variable $x$ zu Gegenzahlen zu machen.
Dazu bilden wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Koeffizienten von $x$:
$$ \text{kgV}(2;3) = 6 $$
Damit in einer Gleichung eine $6$ und in der anderen Gleichung eine $-6$ vor dem $x$ steht, multiplizieren wir die 1. Gleichung mit $3$ und die 2. Gleichung mit $-2$:
$$ \begin{align*} 2x + y &= 4 \qquad |\, \cdot 3 \\ 3x + 2y &= 5 \qquad |\, \cdot (-2) \end{align*} $$
$$ \begin{align*} {\color{orange}6}x + 3y &= 12 \\ {\color{orange}-6}x - 4y &= -10 \end{align*} $$
Gleichungen addieren
Jetzt addieren wir die beiden Gleichungen, wodurch die Variable $x$ eliminiert wird. Übrig bleibt:
$$ -y = 2 $$
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
Wir lösen die eben berechnete Gleichung nach $y$ auf, indem wir mit $-1$ multiplizieren:
$$ -y = 2 \qquad |\, \cdot (-1) $$
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$y = -2$}} $$
Berechneten Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen und zweiten Wert berechnen
Wir setzen $y = 2$ in die 1. Gleichung ein, um $x$ zu berechnen:
$$ 2x + y = 4 $$
$$ 2x - 2 = 4 $$
Jetzt müssen wir noch die Gleichung nach $x$ auflösen:
$$ 2x - 2 = 4 \qquad |\, +2 $$
$$ 2x = 6 \qquad |\, :2 $$
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$x = 3$}} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{(3|{-2})\} $$
Keine Lösung
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 6x + 4y &= 8 \\ 3x + 2y &= 5 \end{align*} $$
mithilfe des Additionsverfahrens.
Gleichungen so umformen, dass die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen werden
Wir entscheiden uns dafür, die Koeffizienten der Variable $x$ zu Gegenzahlen zu machen.
Dazu bilden wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Koeffizienten von $x$:
$$ \text{kgV}(3;6) = 6 $$
Damit in einer Gleichung eine $6$ und in der anderen Gleichung eine $-6$ vor dem $x$ steht, müssen wir lediglich die 2. Gleichung mit $-2$ multiplizieren:
$$ \begin{align*} 6x + 4y &= 8 \\ 3x + 2y &= 5 \qquad |\, \cdot (-2) \end{align*} $$
$$ \begin{align*} {\color{orange}6}x + 4y &= 8 \\ {\color{orange}-6}x - 4y &= -10 \end{align*} $$
Gleichungen addieren
Jetzt addieren wir die beiden Gleichungen, wodurch die Variable $x$ eliminiert wird. Übrig bleibt:
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$0 = -2$}} $$
An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
Dieser Schritt entfällt hier.
Berechneten Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen und zweiten Wert berechnen
Dieser Schritt entfällt hier.
Lösungsmenge aufschreiben
Die Gleichung
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$0 = -2$}} $$
ist eine falsche Aussage. Das Gleichungssystem hat folglich keine Lösung.
$$ \mathbb{L} = \{\;\} $$
Unendlich viele Lösungen
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 9x + 6y &= 15 \\ 3x + 2y &= 5 \end{align*} $$
mithilfe des Additionsverfahrens.
Gleichungen so umformen, dass die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen werden
Wir entscheiden uns dafür, die Koeffizienten der Variable $x$ zu Gegenzahlen zu machen.
Dazu bilden wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Koeffizienten von $x$:
$$ \text{kgV}(3;9) = 9 $$
Damit in einer Gleichung eine $9$ und in der anderen Gleichung eine $-9$ vor dem $x$ steht, müssen wir lediglich die 2. Gleichung mit $-3$ multiplizieren:
$$ \begin{align*} 9x + 6y &= 15 \\ 3x + 2y &= 5 \qquad |\, \cdot (-3) \end{align*} $$
$$ \begin{align*} {\color{orange}9}x + 6y &= 15 \\ {\color{orange}-9}x - 6y &= -15 \end{align*} $$
Gleichungen addieren
Jetzt addieren wir die beiden Gleichungen, wodurch die Variable $x$ eliminiert wird. Übrig bleibt:
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$0 = 0$}} $$
An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
Dieser Schritt entfällt hier.
Berechneten Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen und zweiten Wert berechnen
Dieser Schritt entfällt hier.
Lösungsmenge aufschreiben
Die Gleichung
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$0 = 0$}} $$
ist eine allgemeingültige Aussage. Das Gleichungssystem hat folglich unendlich viele Lösungen.
$$ \mathbb{L} = \{(x|y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\colon y = -1{,}5x + 2{,}5\} $$
