Allgemeine Zinsformel

In diesem Kapitel schauen wir uns die allgemeine Zinsformel etwas genauer an.

Notwendiges Vorwissen: Zinsrechnung

Die allgemeine Zinsformel dient der Berechnung der Zinsen für einen bestimmten Zeitraum.

Allgemeine Zinsformel

\[Z = \underbrace{K \cdot \frac{p}{100}}_{\text{Jahreszinsen}} \cdot \underbrace{\frac{t}{360}}_{\text{Zeitfaktor}}\]

Dabei gilt:

  • \(Z\) = Zinsbetrag
  • \(K\) = Kapital
  • \(p\) = Zinssatz (in Prozent)
  • \(t\) = Verzinsungszeit (in Tagen)

Nach der „deutschen (kaufmännischen) Zinsmethode“ besteht ein Monat aus 30 und ein Jahr aus 360 Tagen. In anderen Ländern werden oft andere Zinsmethoden eingesetzt.

Allgemeine Zinsformel - Video

In diesem Mathe Video (5:41 min) wird dir die allgemeine Zinsformel ausführlich erläutert.

Sind drei der vier Größen (\(Z\), \(K\), \(p\, \%\), \(t\)) bekannt, kann man die vierte berechnen.
Dazu stellt man die allgemeine Zinsformel nach der gesuchten Größe um.

a) Zinsbetrag berechnen

\[Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\]

Beispiel

„Sie nehmen bei Ihrer Bank einen Kredit über 5.000 € auf.
Die Laufzeit beträgt 6 Monate bei einem Zinssatz von 10 %.
Berechnen Sie die Zinszahlungen, die in diesem Zeitraum anfallen.“

Gegeben: \(K = 5000\) €, \(p\, \% = 10\, \%\) und \(t = 180\) (= 6x 30 Tage)
Gesucht: \(Z\)

Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt

\[Z = 5000 \cdot \frac{10}{100} \cdot \frac{180}{360} = 250\]

Es fallen 250 € Zinsen an.

b) Zinssatz berechnen

Wir müssen die Gleichung \(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\) nach \(p\) auflösen:

\[\begin{align*}
Z &= K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} &&{\color{gray}|: K}\\[5pt]
\frac{Z}{K} &= \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} &&{\color{gray}|  : \frac{t}{360} \quad \hat{=} \quad \cdot \, \frac{360}{t}}\\[5pt]
\frac{Z}{K} \cdot \frac{360}{t} &= \frac{p}{100} &&{\color{gray}| \cdot 100}\\[5pt]
\frac{Z}{K} \cdot \frac{360}{t} \cdot 100 &= p
\end{align*}\]

\[p = \frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{K \cdot t}\]

Beispiel

"Sie haben für einen Zeitraum von 10 Tagen 20.000 € auf Ihrem Sparbuch angelegt.
Für diese Anlage erhalten Sie am Ende des Jahres eine Zinsgutschrift über 50 €.
Mit welchem Zinssatz wurde Ihr Sparbuch verzinst?"

Gegeben: \(t = 10\) Tage, \(K = 20000\) € und \(Z = 50\) €
Gesucht: \(p\, \%\)

Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt

\[p = \frac{50 \cdot 100 \cdot 360}{20000 \cdot 10} = 9\]

Die Geldanlage wurde mit 9 % p.a. verzinst.

c) Laufzeit berechnen

Wir müssen die Gleichung \(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\) nach \(t\) auflösen:

\[\begin{align*}
Z &= K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} && {\color{gray}|: K}\\[5pt]
\frac{Z}{K} &= \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} && {\color{gray}| : \frac{p}{100} \quad \hat{=} \quad \cdot \, \frac{100}{p}}\\[5pt]
\frac{Z}{K} \cdot \frac{100}{p} &= \frac{t}{360} && {\color{gray}| \cdot 360}\\[5pt]
\frac{Z}{K} \cdot \frac{100}{p} \cdot 360 &= t
\end{align*}\]

\[t = \frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{K \cdot p}\]

Beispiel

„Für Ihren Kredit über 10.000 € müssen Sie 200 € Zinsen zahlen.
Der Zinssatz beträgt 15 %. Berechnen Sie die Kreditlaufzeit.“

Gegeben: \(K = 10000\) €, \(Z = 200\) € und \(p\, \% = 15\, \%\)
Gesucht: \(t\)

Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt

\[t = \frac{200 \cdot 100 \cdot 360}{10000 \cdot 15} = 48\]

Die Kreditlaufzeit beträgt 48 Tage.

d) Kapital berechnen

Wir müssen die Gleichung \(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\) nach \(K\) auflösen:

\[\begin{align*}
Z &= K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360} && {\color{gray}|: \frac{p}{100} \quad \hat{=} \quad \cdot \, \frac{100}{p}}\\[5pt]
Z \cdot \frac{100}{p} &= K \cdot \frac{t}{360} && {\color{gray}|: \frac{t}{360} \quad \hat{=} \quad \cdot \, \frac{360}{t}}\\[5pt]
Z \cdot \frac{100}{p} \cdot \frac{360}{t} &= K
\end{align*}\]

\[K = \frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{p \cdot t}\]

Beispiel

„Am Jahresende erhalten Sie auf Ihrem Sparbuch eine Zinsgutschrift über 500 €.
Es befand sich aber lediglich für einen Zeitraum von 3 Monaten Geld auf dem Sparbuch.
Der Zinssatz betrug 5 %. Welche Geldsumme befand sich auf dem Sparbuch?“

Gegeben: \(Z = 500\) €, \(p\, \% = 5\, \%\) und \(t = 90\) (= 3x 30 Tage)
Gesucht: \(K\)

Das Einsetzen der Werte in die Formel ergibt

\[K = \frac{500 \cdot 100 \cdot 360}{5 \cdot 90} = 40000\]

Auf dem Sparbuch befanden sich 40.000 Euro.

Zinsrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln erfährst du alles zum Thema Zinsen:

Zinsrechnung Grundlagen der Zinsrechnung
> Allgemeine Zinsformel \(Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}\)
Zinseszinsrechnung Grundlagen der Zinseszinsrechnung
> Zinseszinsformel \(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\)

Zins- und Zinseszinsrechnung gehören zu den Anwendungen der Prozentrechnung.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!