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Antiproportionalitätsfaktor

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Antiproportionalitätsfaktor versteht.

Um dieses Thema zu verstehen, solltest du bereits folgende Lektionen gelesen haben:

Weißt du noch, was eine Zuordnung ist?

Eine Zuordnung ordnet einem Wert einen anderen Wert eindeutig zu.

Um Zuordnungen zu beschreiben, benutzt man in der Mathematik folgenden Pfeil: \({\fcolorbox{Red}{}{\(\longmapsto\)}}\).

Allgemein

\(x \longmapsto y\)
(sprich: \(x\) wird \(y\) eindeutig zugeordnet)

Dabei bezeichnet man \(x\) als Ausgangswert und \(y\) als zugeordneten Wert.

Beispiel

1 Gärtner braucht zum Mähen einer bestimmten Rasenfläche 12 Minuten.
Wenn 2 Gärtner zusammenhelfen, brauchen sie nur 6 Minuten... usw.

Die Anzahl der Gärtner lässt sich der Arbeitszeit eindeutig zuordnen:
\(\text{Anzahl Gärtner} \longmapsto \text{ Arbeitszeit}\)

\(1 \longmapsto 12\)
\(2 \longmapsto 6\)
\(3 \longmapsto 4\)
\(4 \longmapsto 3\)
\(5 \longmapsto 2,4\)
\(6 \longmapsto 2\)

Zur übersichtlicheren Darstellung verwendet man meist eine Wertetabelle:

\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
y & 12 & 6 & 4 & 3 & 2,4  & 2\\
\end{array}

Für eine antiproportionale Zuordnung \(x \longmapsto y\) gilt:

Das Produkt aus Ausgangswert (\(x\)) und zugeordnetem Wert (\(y\)) ist konstant. Diese Konstante nennt man Antiproportionalitätsfaktor.

\(x \cdot y = \text{Antiproportionalitätsfaktor}\)

Antiproportionalitätsfaktor berechnen

Beispiel 1

Überprüfe, ob die folgende Zuordnung antiproportional ist.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 4 & 5 \\ \hline
y & 4 & 2 & 1 & 0,8 \\
\end{array}\)

Um zu überprüfen, ob eine Zuordnung antiproportional ist, multipliziert man die Werte der oberen Zeile mit den Werten der unteren Zeile. Kommt dabei jeweils dieselbe Zahl heraus, ist die Zuordnung antiproportional.

\(1 \cdot 4 = {\color{red}{4}}\)
\(2 \cdot 2 = {\color{red}{4}}\)
\(4 \cdot 1 = {\color{red}{4}}\)
\(5 \cdot 0,8 = {\color{red}{4}}\)

Da man bei der Multiplikation der oberen mit der unteren Zeile jeweils denselben Wert erhält, ist die Zuordnung antiproportional.

Das Ergebnis der Multiplikationen (hier: 4) ist der Antiproportionalitätsfaktor.

Beispiel 2

Überprüfe, ob die folgende Zuordnung antiproportional ist.

\(\begin{array}{r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 4 \\ \hline
y & 2 & 1 & 0,5  \\
\end{array}\)

Wir multiplizieren wieder die Ausgangswerte \(x\) mit den zugeordneten Weren \(y\)

\(1 \cdot 2 = {\color{red}{2}}\)
\(2 \cdot 1 = {\color{red}{2}}\)
\(4 \cdot 0,5 = {\color{red}{2}}\)

und stellen fest, dass jeweils derselbe Wert herauskommt.

Das Ergebnis der Multiplikationen (hier: 2) ist der Antiproportionalitätsfaktor.

In diesem Artikel haben wir uns mit dem Antiproportionalitätsfaktor beschäftigt. Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Antiproportionale Zuordnung. Weiterhin viel Spaß beim Lernen!

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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