Asymptotische Kurve

In diesem Kapitel besprechen wir, was eine asympotische Kurve ist.

Zuerst definieren wir den Begriff Asymptote.

Eine Asymptote ist eine Funktion, der sich eine andere Funktion bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert.

Welche Arten von Asymptoten gibt es?

  • senkrechte Asymptote
  • waagrechte Asymptote
  • schiefe Asymptote
  • asymptotische Kurve

Zu jedem dieser vier Fälle schauen wir uns ein grapisches Beispiel an.

a) Senkrechte Asymptote

Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft senkrecht (siehe rote Linie).

b) Waagrechte Asymptote

Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft waagrecht (siehe rote Linie).

c) Schiefe Asymptote

Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft schief (siehe rote Linie).

d) Asymptotische Kurve

Kurve, der sich eine andere Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert (siehe rote Kurve).

Mit diesem Wissen können wir eine asymptotische Kurve definieren:

Eine asymptotische Kurve ist eine Kurve, der sich eine andere Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert.

Exkurs: Zählergrad / Nennergrad bestimmen

Um zu überprüfen, ob eine gebrochenrationale Funktion eine asymptotische Kurve besitzt, betrachtet man den Zählergrad und den Nennergrad.

Unter dem Zählergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Zähler vorkommt.

Beispiel

Der Zählergrad der Funktion

\[f(x) = \frac{x^{\fcolorbox{Red}{}{\(3\)}} +4x^2 -7}{x + 3}\]

ist 3, da \(x^{\color{red}3}\) die höchste Potenz im Zähler ist.

Unter dem Nennergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Nenner vorkommt.

Beispiel

Der Nennergrad der Funktion

\[f(x) = \frac{x^3 +4x^2 -7}{x + 3} = \frac{x^3 +4x^2 -7}{x^{\fcolorbox{Red}{}{\(1\)}} + 3}\]

ist 1, da \(x^{\color{red}1}\) die höchste Potenz im Nenner ist.

Es gilt: \(x^1 = x\).

Asymptotische Kurve berechnen

Eine gebrochenrationale Funktion

\[y = \frac{a_n x^{\fcolorbox{Red}{}{\(n\)}} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^{\fcolorbox{Red}{}{\(m\)}} + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0}\]

besitzt eine asymptotische Kurve, wenn

  • Zählergrad > Nennergrad + 1 [\(n > m + 1\)]

In anderen Worten:
Ist der Zählergrad um mehr als 1 größer als der Nennergrad,
besitzt die Funktion eine asymptotische Kurve.

Vorgehensweise zur Berechnung der asymptotischen Kurve

  1. Zählergrad und Nennergrad bestimmen
    (= Voraussetzung für asymptotische Kurve überprüfen)
  2. Polynomdivision
  3. Grenzwertbetrachtung

zu 2.)

Die Gleichung der asymptotischen Kurve erhalten wir, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen. Hierbei handelt es sich um eine Polynomdivision. Entsprechende Kenntnisse werden vorausgesetzt.

zu 3.)

Folgende Artikel sind zu wiederholen:
Grenzwert und Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

\[f(x) = \frac{x^3 + 1}{x - 1}\]

1.) Zählergrad und Nennergrad bestimmen

Da der Zählergrad (3) um mehr als eine Einheit größer ist als der Nennergrad (1),
besitzt die Funktion eine asymptotische Kurve.

2.) Polynomdivision

Die Gleichung der asymptotischen Kurve erhalten wir, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen.

\[\begin{array}{l}
\quad x^3 \qquad \qquad \: \: + 1:(x - 1)= {\color{red}x^2 + x + 1}+{\color{blue}\frac{2}{x-1}} \\
-(x^3 - x^2) \\
\qquad \quad \: \: x^2 \\
\qquad \: \: -(x^2-x) \\
\qquad\qquad \quad \: \: \: \: x + 1 \\
\qquad\qquad \: \: \: -(x-1) \\
\qquad\qquad\qquad \quad \: \: 2
\end{array}\]

3.) Grenzwertbetrachtung

Da der Nennergrad des Bruchs (ganz rechts in der Gleichung) größer ist als der Zählergrad, wird dieser Restterm für sehr große x-Werte immer kleiner und nähert sich Null an.

\[\lim_{x\to \pm\infty}\left({\color{blue}\frac{2}{x-1}}\right) = 0\]

Der Graph der Funktion strebt deshalb gegen die asymptotische Kurve mit der Gleichung

\(y = {\color{red}x^2 + x + 1}\)

Graphik zum Beispiel

Mehr zu gebrochenrationalen Funktionen

Im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten.

  Kriterium
Zählergrad bestimmen Höchste Potenz im Zähler
Nennergrad bestimmen Höchste Potenz im Nenner
Asymptoten berechnen  
> Senkrechte Asymptote Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke)
> Waagrechte Asymptote Zählergrad < Nennergrad
                oder
Zählergrad = Nennergrad
> Schiefe Asymptote Zählergrad = Nennergrad + 1
> Asymptotische Kurve Zählergrad > Nennergrad + 1
Nullstellen berechnen \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) \neq 0\)
Polstelle \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) \neq 0\)
Hebbare Definitionslücke \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) = 0\)
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion  
Partialbruchzerlegung  

Vergewissere dich, dass du sowohl graphisch als auch rechnerisch die Begriffe "Nullstelle", "Definitionslücke", "Polstelle" und "Hebbare Definitionslücke" voneinander abgrenzen kannst. Auch den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer waagrechten Asymptote solltest du dir bewusst machen. All das wird in den obigen Artikeln ausführlich besprochen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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