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Ausmultiplizieren

In diesem Kapitel schauen wir uns das Ausmultiplizieren etwas genauer an.

Notwendiges Vorwissen: Distributivgesetz

Ausmultiplizieren dient dazu,
Klammern aufzulösen.

\({\color{red}a} \cdot (b + c) = {\color{red}a}b + {\color{red}a}c\)

Wenn ein Term mit einer Klammer, in der eine Summe oder Differenz steht, multipliziert werden soll, muss der Term mit jedem Glied in der Klammer multipliziert werden, um die Klammer aufzulösen.

a) Zahlen

\({\color{red}3}(x+y) = {\color{red}3}x + {\color{red}3}y\)

\({\color{red}5}(4x-2y) = {\color{red}5} \cdot 4x + {\color{red}5} \cdot (-2y) = 20x - 10y\)

\({\color{red}-2}(x+7y) = {\color{red}-2} \cdot x {\color{red}\:-\:2} \cdot 7y = -2x -14y\)

Sonderfall: -1 vor der Klammer
Statt -1 schreibt man häufig einfach nur das Minuszeichen vor die Klammer.
Um die Klammer aufzulösen, müssen wir alle Vorzeichen umdrehen.

\({\color{red}-}(x+y) = {\color{red}-}x{\color{red}-}y\)

\({\color{red}-}(x-y) = {\color{red}-}x {\color{red}-}(-y) = - x + y\)

\({\color{red}-}(-x+y) = {\color{red}-}(-x) {\color{red}-}y = x - y\)

\({\color{red}-}(-x-y) = {\color{red}-}(-x) {\color{red}-}(-y) = x + y\)

b) Variablen

\({\color{red}x}(3 + y) = {\color{red}x} \cdot 3 + {\color{red}x} \cdot y = 3x + xy\)

\({\color{red}-xy}(7z - 4) = {\color{red}-xy} \cdot 7z {\color{red}\:-\:xy} \cdot (-4) = -7xyz + 4xy\)

c) Variablen und Zahlen

\({\color{red}5x}(2y - 3z) = {\color{red}5x} \cdot 2y + {\color{red}5x} \cdot (-3z) = 10xy - 15xz\)

\({\color{red}-9yz}(-1 - x) = {\color{red}-9yz} \cdot (-1) {\color{red}\:-\:9yz} \cdot (-x) = 9yz + 9 xyz\)

Sonderfall: Produkt in der Klammer
Wenn in der Klammer ein Produkt steht (statt einer Summe oder Differenz), darf man nicht
den Term vor der Klammer mit jedem Faktor des Produkts in der Klammer multiplizieren.

\({\color{red}a} \cdot (b \cdot c) \neq {\color{red}a} \cdot b \cdot {\color{red}a} \cdot c\)

Nach dem Assoziativgesetz kann man die Klammer in diesem Fall einfach weglassen!

\({\color{red}a} \cdot (b \cdot c) = {\color{red}a} \cdot b \cdot c\)

Beispiel

Es gilt zwar

\({\color{red}3}(x+y) = {\color{red}3}x + {\color{red}3}y\)

aber

\({\color{red}3}(x \cdot y) = {\color{red}3}xy\)

Klammern ausmultiplizieren

Wenn der Term, mit dem die Klammer multipliziert werden soll,
selbst eine Klammer mit einer Summe oder Differenz ist, muss
jedes Glied der ersten Summe bzw. Differenz
mit jedem Glied der zweiten Summe bzw. Differenz
multipliziert werden.

\(({\color{red}a}+{\color{maroon}b}) \cdot (c+d) = {\color{red}a}c + {\color{red}a}d + {\color{maroon}b}c + {\color{maroon}b}d\)

Beispiele

\(\begin{align*}
({\color{red}2a} + {\color{maroon}3b}) \cdot (5c - 7d) &= {\color{red}2a} \cdot 5c + {\color{red}2a} \cdot (-7d) + {\color{maroon}3b} \cdot 5c + {\color{maroon}3b} \cdot (-7d)\\
&= 10ac - 14ad + 15bc - 21bd
\end{align*}\)

\(\begin{align*}
({\color{red}6a} {\color{maroon}\:-\:5b}) \cdot (4c - 3d) &= {\color{red}6a} \cdot 4c + {\color{red}6a} \cdot (-3d) {\color{maroon}\:-\:5b} \cdot 4c {\color{maroon}\:-\:5b} \cdot (-3d)\\
&= 24ac - 18ad - 20bc + 15bd
\end{align*}\)

Das Ausmultiplizieren von Termen der Gestalt

\((a+b) \cdot (a+b)\),
\((a-b) \cdot (a-b)\) und
\((a+b) \cdot (a-b)\)

kann durch die Anwendung der binomischen Formeln erheblich vereinfacht werden.

Teilweises Ausmultiplizieren

In manchen Fällen (z.B. bei der quadratischen Ergänzung) möchte man nur einen Term aus der Klammer holen. Dazu multiplizieren wir den entsprechenden Term in der Klammer mit dem Term vor der Klammer.

Beispiel

Gegeben ist der Term \(2 \cdot \left(x^2 + 6x + 9 - 9\right)\).
Unser Ziel ist es, die -9 aus der Klammer zu holen.

Lösung: Wir multiplizieren die -9 mit der Zahl vor der Klammer.

\({\color{red}2} \cdot \left(x^2 + 6x + 9 {\color{red}\:-\:9}\right) = 2 \cdot \left(x^2 + 6x + 9\right) + {\color{red}2} \cdot ({\color{red}-9})\)

\(\phantom{{\color{red}2} \cdot \left(x^2 + 6x + 9 {\color{red}\:-\:9}\right)} = 2 \cdot \left(x^2 + 6x + 9\right) {\color{maroon}\:-\:18}\)

Das Ergebnis der Multiplikation können wir auch vor die Klammer schreiben.

\(\phantom{{\color{red}2} \cdot \left(x^2 + 6x + 9 {\color{red}\:-\:9}\right)} = {\color{maroon}\:-\:18} + 2 \cdot \left(x^2 + 6x + 9\right)\)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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