Baumdiagramm

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter einem Baumdiagramm versteht.
[Alternative Bezeichnungen: Wahrscheinlichkeitsbaum, Entscheidungsbaum]

Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung, welche die möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ablaufs hierarchischer Entscheidungen zeigt.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Baumdiagramme zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsexperimente eingesetzt.

Beispiel

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
Wir ziehen zwei Kugeln
a) mit Zurücklegen
b) ohne Zurücklegen

Vorüberlegungen

  • Ergebnisse: \(\omega_1 = SS\), \(\omega_2 = SW\), \(\omega_3 = WS\), \(\omega_4 = WW\)
  • Ergebnisraum: \(\Omega = \{SS, SW, WS, WW\}\)
  • Elementarereignisse: \(E_1 = \{SS\}\), \(E_2 = \{SW\}\), \(E_3 = \{WS\}\), \(E_4 = \{WW\}\)

a) Baumdiagramm (Ziehen mit Zurücklegen)

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
Wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen heraus.

1. Ziehung

Da 4 von 9 Kugeln schwarz sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung einer schwarze Kugel zu ziehen, genau \(\frac{4}{9}\).

Die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen, entspricht demnach \(\frac{5}{9}\).

2. Ziehung

Da die Kugel der 1. Ziehung wieder zurückgelegt wird, entsprechen die Wahrscheinlichkeiten der 2. Ziehung
denen der 1. Ziehung.

Merke:
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen,
die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1.

Für unser Beispiel gilt:

  • \(\frac{4}{9} + \frac{5}{9} = 1\)

b) Baumdiagramm (Ziehen ohne Zurücklegen)

In einer Urne befinden 4 schwarze und 5 weiße Kugeln.
Wir ziehen zwei Kugeln ohne Zurücklegen heraus.

1. Ziehung

Da 4 von 9 Kugeln schwarz sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung einer schwarze Kugel zu ziehen, genau \(\frac{4}{9}\).

Die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen, entspricht demnach \(\frac{5}{9}\).

2. Ziehung unter der Bedingung, dass
man bereits eine schwarze Kugel hat


Da wir bereits eine Kugel gezogen haben, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne:
3 schwarze und 5 weiße.

2. Ziehung unter der Bedingung, dass
man bereits eine weiße Kugel hat


Da wir bereits eine Kugel gezogen haben, befinden sich nur noch 8 Kugeln in der Urne:
4 schwarze und 4 weiße.

Zusammenfassung

Wir sehen, dass beim Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeiten der 2. Ziehung sich von denen der 1. Ziehung unterscheiden.

Merke:
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen,
die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1.

Für unser Beispiel gilt:

  • \(\frac{4}{9} + \frac{5}{9} = 1\)
  • \(\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1\)
  • \(\frac{4}{8} + \frac{4}{8} = 1\)

Baumdiagramm und Pfadregeln

Im nächsten Kapitel lernen wir die Pfadregeln kennen. Die Pfadregeln helfen bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in einem mehrstufigen Zufallsexperiment.

In unserem Beispiel ginge es um folgende Fragestellungen:

1. Pfadregel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...

...zuerst eine schwarze und dann noch eine schwarze Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{SS\})\)

...zuerst eine schwarze und dann eine weiße Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{SW\})\)

...zuerst eine weiße und dann eine schwarze Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{WS\})\)

...zuerst eine weiße und dann noch eine weiße Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{WW\})\)

2. Pfadregel

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...

...genau eine schwarze Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{SW,WS\})\)

...genau eine weiße Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{SW,WS\})\)

...mindestens eine schwarze Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{SW,WS,SS\})\)

...mindestens eine weiße Kugel zu ziehen?
\(\Rightarrow P(\{SW,WS,WW\})\)

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Artikel über die Pfadregeln.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!