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Bestimmtes Integral

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was bestimmte Integrale sind.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Wenn wir die Schreibweise eines unbestimmten Integrals

$$ \int \! f(x) \, \textrm{d}x = F(x) + C $$

mit der Schreibweise eines bestimmten Integrals

$$ \int_a^b \! f(x) \, \textrm{d}x = [F(x) + C]_a^b $$

vergleichen, stellen wir fest, dass bei einem bestimmten Integral die Integrationsgrenzen angegeben, also bestimmt sind. Dabei ist $a$ die untere und $b$ die obere Integrationsgrenze.

Anleitung 

Im Gegensatz zu unbestimmten Integralen können wir bestimmte Integrale berechnen:

$$ \int_{\color{blue}a}^{\color{red}b} \! f(x) \, \textrm{d}x = [F(x) + C]_{\color{blue}a}^{\color{red}b} = F({\color{red}b}) - F({\color{blue}a}) $$

Um bestimmte Integrale zu berechnen, gehen wir also so vor:

Stammfunktion berechnen

$\boldsymbol{F(b) - F(a)}$ berechnen

Beispiele 

Beispiel 1 

Berechne $\int_{1}^{3} \! 2x \, \textrm{d}x$.

Stammfunktion berechnen

Wir berechnen die Stammfunktion mithilfe der Potenzregel:

$$ \int_{\color{blue}1}^{\color{red}3} \! 2x \, \textrm{d}x = \left[x^2\right]_{\color{blue}1}^{\color{red}3} $$

$\boldsymbol{F(b) - F(a)}$ berechnen

Wir berechnen den Funktionswert der Stammfunktion an der Stelle $x = {\color{red}3}$ (obere Integrationsgrenze) und ziehen davon den Funktionswert der Stammfunktion an der Stelle $x = {\color{blue}1}$ (untere Integrationsgrenze) ab:

$$ \begin{align*} \phantom{\int_{\color{blue}1}^{\color{red}3} \! 2x \, \textrm{d}x} &= {\color{red}3}^2 - {\color{blue}1}^2 \\ &= 9 - 1 \\[5px] &= 8 \end{align*} $$

Beispiel 2 

Berechne $\int_{-3}^{0} \! x^2 \, \textrm{d}x$.

Stammfunktion berechnen

Wir berechnen die Stammfunktion mithilfe der Potenzregel:

$$ \int_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} \! x^2 \, \textrm{d}x = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} $$

$\boldsymbol{F(b) - F(a)}$ berechnen

Wir berechnen den Funktionswert der Stammfunktion an der Stelle $x = {\color{red}0}$ (obere Integrationsgrenze) und ziehen davon den Funktionswert der Stammfunktion an der Stelle $x = {\color{blue}-3}$ (untere Integrationsgrenze) ab:

$$ \begin{align*} \phantom{\int_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} \! x^2 \, \textrm{d}x} &= \frac{1}{3} \cdot {\color{red}0}^3 - \frac{1}{3}({\color{blue}-3})^3 \\ &= 0 - \frac{1}{3} \cdot (-27) \\[5px] &= 9 \end{align*} $$

Bedeutung 

Die in den obigen Beispielen berechneten Ergebnisse haben eine geometrische Bedeutung:

Bildet man das bestimmte Integral einer reellen Funktion in einer Variablen, so lässt sich das Ergebnis im zweidimensionalen Koordinatensystem als Flächeninhalt der Fläche, die zwischen dem Graphen der Funktion, der $x$-Achse sowie den begrenzenden Parallelen zur $y$-Achse liegt, deuten.

Die begrenzenden Parallelen entsprechen den Integrationsgrenzen.

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zur Flächenberechnung mit Integralen.

Eigenschaften 

Gleiche untere und obere Integrationsgrenzen

$$ \int_a^a \! f(x) \, \textrm{d}x = 0 $$

Vertauschung der Integrationsgrenzen

$$ \int_a^b \! f(x) \, \textrm{d}x = -\int_b^a \! f(x) \, \textrm{d}x $$

Faktorregel

$$ \int_a^b \! k \cdot f(x) \, \textrm{d}x = k \cdot \int_a^b \! f(x) \, \textrm{d}x $$

Summenregel

$$ \int_a^b \! f(x) \, \textrm{d}x + \int_a^b \! g(x) \, \textrm{d}x = \int_a^b \! (f(x)+g(x)) \, \textrm{d}x $$

Zusammenfassen von Integrationsintervallen

$$ \int_a^b \! f(x) \, \textrm{d}x + \int_b^c \! f(x) \, \textrm{d}x = \int_a^c \! f(x) \, \textrm{d}x $$

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