Betrag

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Betrag einer Zahl ist.
[Alternative Bezeichnung: Absolutbetrag]

Betrag einer reellen Zahl

Der Betrag \(|x|\) einer reellen Zahl \(x\) entspricht auf der Zahlengeraden dem
Abstand der Zahl \(x\) vom Nullpunkt.

Die folgende Abbildung soll diesen Sachverhalt veranschaulichen:


Der Abstand von -3 zum Nullpunkt ist 3.
In mathematischer Schreibweise: \(|-3| = 3\).

Der Abstand von 3 zum Nullpunkt ist 3.
In mathematischer Schreibweise: \(|3| = 3\).

Offenbar gilt:
\(|-3| = |3|\)

Da Abstände nicht negativ sind, gilt

  • \(|x| = x\) für \(x \geq 0\)
    Beispiel: \(|3| = 3\)

  • \(|x| = -x\) für \(x < 0\)
    Beispiel: \(|-3| = -(-3) = 3\)

Mit diesem Wissen können wir den Betrag einer reellen Zahl endlich definieren:

Definition des Betrags

\(|x| =
\begin{cases}
x &\text{für } x \geq 0\\
-x &\text{für } x < 0
\end{cases}\)

Beispiel 1

\(|8| = 8\)

Beispiel 2

\(|-7| = -(-7) = 7\)

\(|x - a|\) ist der Abstand der Zahl \(x\) von der Zahl \(a\).

Beispiel 3.1

\(|2 - 5| = |-3| = 3\)
2 und 5 haben auf der Zahlengerade den Abstand 3.

Beispiel 3.2

\(|5 - 2| = |3| = 3\)
5 und 2 haben auf der Zahlengerade den Abstand 3.

Beispiel 4.1

\(|-2 - 5| = |-7| = 7\)
-2 und 5 haben auf der Zahlengerade den Abstand 7.

Beispiel 4.2

\(|5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7\)
5 und -2 haben auf der Zahlengerade den Abstand 7.

Betrag: Eigenschaften und Rechenregeln

Für alle \(a,b \in \mathbb{R}\) gilt:

  1. \(|x| \geq 0\) (Beträge sind nicht negativ!)
  2. \(|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
  3. \(|a \cdot b| = |a| \cdot |b|\)
    Daraus folgt: \(|a^n| = |a|^n\) für \(n \in \mathbb{N}\)
  4. \(|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}\) für \(b \neq 0\)
    Daraus folgt: \(|\frac{1}{a^n}| = \frac{1}{|a|^n}\) für \(n \in \mathbb{N}\), \(a \neq 0\)
  5. \(|a+b| \leq |a| + |b|\) (Dreiecksungleichung)

Betrag: Anwendungen

Im Folgenden findest du einige Anwendungen des Betrags:

  Beispiele
Betragsgleichungen \(|x+1| = 3\)
Betragsungleichungen \(|x+1| < 3\)
Betragsfunktion \(y = |x|\)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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