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Betrag

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Betrag einer Zahl ist.

Definition 

Der Absolutbetrag (oder einfach Betrag) $|x|$ einer reellen Zahl $x$ entspricht auf der Zahlengerade dem Abstand der Zahl $x$ vom Nullpunkt.

Die folgende Abbildung soll diesen Sachverhalt veranschaulichen:

Der Abstand von $-3$ zum Nullpunkt ist $3$.
In mathematischer Schreibweise: $|-3| = 3$.

Der Abstand von $3$ zum Nullpunkt ist $3$.
In mathematischer Schreibweise: $|3| = 3$.

Offenbar gilt:
$$ |-3| = |3| $$

Abb. 1 

Da Abstände nicht negativ sind, gilt

$|x| = x$ für $x \geq 0$
Beispiel: $|3| = 3$

$|x| = -x$ für $x < 0$
Beispiel: $|-3| = -(-3) = 3$

Mit diesem Wissen können wir den Betrag einer reellen Zahl endlich definieren:

Definition des Betrags

$$ |x| = \begin{cases} x &\text{für } x \geq 0 \\[5px] -x &\text{für } x < 0 \end{cases} $$

Beispiel 1 

$$ |8| = 8 $$

Beispiel 2 

$$ |-7| = -(-7) = 7 $$

$|x - a|$ ist der Abstand der Zahl $\boldsymbol{x}$ von der Zahl $\boldsymbol{a}$.

Beispiel 3 

$$ |2 - 5| = |-3| = 3 $$

$2$ und $5$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $3$.

Beispiel 4 

$$ |5 - 2| = |3| = 3 $$

$5$ und $2$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $3$.

Beispiel 5 

$$ |-2 - 5| = |-7| = 7 $$

$-2$ und $5$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $7$.

Beispiel 6 

$$ |5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7 $$

$5$ und $-2$ haben auf der Zahlengerade den Abstand $7$.

Eigenschaften und Rechenregeln 

Für alle $a,b \in \mathbb{R}$ gilt:

$|x| \geq 0$ (Beträge sind nicht negativ!)

$$ |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0 $$

$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$
Daraus folgt: $|a^n| = |a|^n$ für $n \in \mathbb{N}$

$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ für $b \neq 0$
Daraus folgt: $|\frac{1}{a^n}| = \frac{1}{|a|^n}$ für $n \in \mathbb{N}$, $a \neq 0$

$|a+b| \leq |a| + |b|$ (Dreiecksungleichung)

Anwendungen 

Im Folgenden findest du einige Anwendungen des Betrags:

Beispiele
Betragsgleichungen$|x+1| = 3$
Betragsungleichungen$|x+1| < 3$
Betragsfunktion$y = |x|$

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