Betrag

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Betrag einer Zahl ist.
[Alternative Bezeichnung: Absolutbetrag]

Betrag einer reellen Zahl

Der Betrag \(|x|\) einer reellen Zahl \(x\) entspricht auf der Zahlengeraden dem
Abstand der Zahl \(x\) vom Nullpunkt.

Die folgende Abbildung soll diesen Sachverhalt veranschaulichen:


Der Abstand von -3 zum Nullpunkt ist 3.
In mathematischer Schreibweise: \(|-3| = 3\).

Der Abstand von 3 zum Nullpunkt ist 3.
In mathematischer Schreibweise: \(|3| = 3\).

Offenbar gilt:
\(|-3| = |3|\)

Da Abstände nicht negativ sind, gilt

  • \(|x| = x\) für \(x \geq 0\)
    Beispiel: \(|3| = 3\)

  • \(|x| = -x\) für \(x < 0\)
    Beispiel: \(|-3| = -(-3) = 3\)

Mit diesem Wissen können wir den Betrag einer reellen Zahl endlich definieren:

Definition des Betrags

\(|x| =
\begin{cases}
x &\text{für } x \geq 0\\
-x &\text{für } x < 0
\end{cases}\)

Beispiel 1

\(|8| = 8\)

Beispiel 2

\(|-7| = -(-7) = 7\)

\(|x - a|\) ist der Abstand der Zahl \(x\) von der Zahl \(a\).

Beispiel 3.1

\(|2 - 5| = |-3| = 3\)
2 und 5 haben auf der Zahlengerade den Abstand 3.

Beispiel 3.2

\(|5 - 2| = |3| = 3\)
5 und 2 haben auf der Zahlengerade den Abstand 3.

Beispiel 4.1

\(|-2 - 5| = |-7| = 7\)
-2 und 5 haben auf der Zahlengerade den Abstand 7.

Beispiel 4.2

\(|5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7\)
5 und -2 haben auf der Zahlengerade den Abstand 7.

Betrag: Eigenschaften und Rechenregeln

Für alle \(a,b \in \mathbb{R}\) gilt:

  1. \(|x| \geq 0\) (Beträge sind nicht negativ!)
  2. \(|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
  3. \(|a \cdot b| = |a| \cdot |b|\)
    Daraus folgt: \(|a^n| = |a|^n\) für \(n \in \mathbb{N}\)
  4. \(|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}\) für \(b \neq 0\)
    Daraus folgt: \(|\frac{1}{a^n}| = \frac{1}{|a|^n}\) für \(n \in \mathbb{N}\), \(a \neq 0\)
  5. \(|a+b| \leq |a| + |b|\) (Dreiecksungleichung)

Betrag: Anwendungen

Im Folgenden findest du einige Anwendungen des Betrags:

  Beispiele
Betragsgleichungen \(|x+1| = 3\)
Betragsungleichungen \(|x+1| < 3\)
Betragsfunktion \(y = |x|\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!