Betragsfunktion
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die (reelle) Betragsfunktion ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Abschnittsweise definierte Funktionen
Bestandteile
Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.
Funktionsgleichung
Betragsfunktion
$$ |x| = \begin{cases} x &\text{für } x \geq 0 \\[5px] -x &\text{für } x < 0 \end{cases} $$
Die Betragsfunktion ist eine abschnittsweise definierte Funktion, die sich aus zwei linearen Funktionen zusammensetzt.
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.
In die Betragsfunktion dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$
Wertemenge
Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.
Die Betragsfunktion kann grundsätzlich nur positive reellen Zahlen annehmen:
$$ \mathbb{W}_f = \mathbb{R}^{+} $$
Graph
Den Graphen der Funktion $y = |f(x)|$ erhält man aus dem Graphen von $y = f(x)$,
indem man alle unterhalb der $x$-Achse liegenden Kurvenstücke an der $x$-Achse spiegelt
und die bereits oberhalb der $x$-Achse liegenden Teile unverändert beibehält.
Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
$$ y = |x| $$
Der Unterschied zu $y = x$ (gestrichelte Linie) ist, dass alles, was unterhalb der $x$-Achse ist, an dieser nach oben gespiegelt wird.
Betragsfreie Darstellung einer Betragsfunktion
Funktionen, in denen Beträge vorkommen, werden von Schülern oft als schwer verständlich eingestuft. Um die Lesbarkeit von Betragsfunktionen zu erhöhen, lösen wir die Beträge auf.
Lineare Betragsfunktionen
Schreibe die Funktionsgleichung $y = |x - 2|$ ohne Betrag.
Definition der Betragsfunktion anwenden
Zunächst ersetzen wir in der Definition der Betragsfunktion
$$ |x| = \begin{cases} x &\text{für } x \geq 0 \\[5px] -x &\text{für } x < 0 \end{cases} $$
das $x$ durch $x-2$ und erhalten somit:
$$ |x-2| = \begin{cases} x-2 &\text{für } x-2 \geq 0 \\[5px] -(x-2) &\text{für } x-2 < 0 \end{cases} $$
Bedingungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Die Bedingungen – also das, was nach für
steht – lösen wir nach $x$ auf.
Rein mathematisch betrachtet lösen wir hier zwei lineare Ungleichungen.
$$ |x-2| = \begin{cases} x-2 &\text{für } x \geq 2 \\[5px] -(x-2) &\text{für } x < 2 \end{cases} $$
Graphische Darstellung
Quadratische Betragsfunktionen
Schreibe die Funktionsgleichung $y = |x^2-4x+3|$ ohne Betrag.
Definition der Betragsfunktion anwenden
Zunächst ersetzen wir in der Definition der Betragsfunktion
$$ |x| = \begin{cases} x &\text{für } x \geq 0 \\[5px] -x &\text{für } x < 0 \end{cases} $$
das $x$ durch $x^2-4x+3$ und erhalten somit:
$$ |x^2-4x+3| = \begin{cases} x^2-4x+3 &\text{für } x^2-4x+3 \geq 0 \\[5px] -(x^2-4x+3) &\text{für } x^2-4x+3 < 0 \end{cases} $$
Bedingungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Die Bedingungen – also das, was nach für
steht – lösen wir nach $x$ auf.
Rein mathematisch betrachtet lösen wir hier zwei quadratische Ungleichungen.
Quadratische Gleichung lösen
Die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2-4x+3 = 0$ sind:
$$ x_1 = 1 $$
$$ x_2 = 3 $$
Graphisch sind das die Nullstellen der quadratischen Funktion $y = x^2-4x+3$.
Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
Die möglichen Lösungsintervalle der quadratischen Ungleichung $x^2-4x+3 \geq 0$ sind:
$\mathbb{L}_1 = ]-\infty;1]$, $\mathbb{L}_2 = ]1;3[$ und $\mathbb{L}_3 = [3;\infty[$
Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören
Durch Einsetzen von Werten überprüfen wir, welche Intervalle zur Lösung gehören.
Aus dem 1. Intervall $\mathbb{L}_1 = ]-\infty;1]$ setzen wir ${\color{maroon}0}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2-4x+3 \geq 0 $$
$$ {\color{maroon}0}^2-4 \cdot {\color{maroon}0} + 3 \geq 0 \qquad \rightarrow 3 \geq 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Aus dem 2. Intervall $\mathbb{L}_2 = ]1;3[$ setzen wir ${\color{maroon}2}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2-4x+3 \geq 0 $$
$$ {\color{maroon}2}^2-4 \cdot {\color{maroon}2} + 3 \geq 0 \qquad \rightarrow -1 \geq 0 \quad{\color{red}\times} $$
Aus dem 3. Intervall $\mathbb{L}_3 = [3;\infty[$ setzen wir ${\color{maroon}4}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2-4x+3 \geq 0 $$
$$ {\color{maroon}4}^2-4 \cdot {\color{maroon}4} + 3 \geq 0 \qquad \rightarrow 3 \geq 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Zusammenfassend gilt:
Die quadratische Ungleichung $x^2-4x+3 \geq 0$ ist für $x \leq 1$ und für $x \geq 3$ erfüllt.
Daraus folgt:
Die quadratische Ungleichung $x^2-4x+3 < 0$ ist für $1 < x < 3$ erfüllt.
Die betragsfreie Darstellung der quadratischen Betragsfunktion lautet demnach
$$ |x^2-4x+3| = \begin{cases} x^2-4x+3 &\text{für } x \leq 1 \text{ oder } x \geq 3 \\[5px] -(x^2-4x+3) &\text{für } 1 < x < 3 \end{cases} $$
Graphische Darstellung
