Bruchrechnen

In diesem Kapitel sprechen wir über das Bruchrechnen, d.h. das Rechnen mit Brüchen.

Wenn du noch nicht weißt, was ein Bruch ist oder wozu man die Bruchrechnung braucht, lies dir unseren Einführungsartikel durch (> Bruchrechnung).

Wiederholung

\[\frac{4}{5} \qquad \rightarrow \qquad \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]

Merke: Der Zähler steht oben, der Nenner unten.

Bruchrechnen 1a): Erweitern

Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruches mit derselben Zahl multipliziert.

Beispiel

\[\frac{2}{3} =\frac{2 \cdot {\color{red}4}}{3 \cdot {\color{red}4}} =\frac{8}{12}\]

Warum gilt das? Antwort: Wegen \(\frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = 1\).

Letztlich wird also mit "1" multipliziert, was den Wert einer Zahl bekanntlich nicht verändert.

...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche erweitern.

Bruchrechnen 1b): Kürzen

Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruches durch einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner teilt.

Dazu zerlegt man jeweils den Zähler und den Nenner des Bruchs in Primfaktoren. Gemeinsame Primfaktoren werden anschließend herausgestrichen. Was übrig bleibt, ist der gekürzte Bruch.

\[\frac{8}{12} =\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 2}{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{2}{3}\]

...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche kürzen.

Bruchrechnen 1c): Gleichnamig machen

Bevor wir Brüche addieren oder subtrahieren können, muss man sie "gleichnamig machen". Das bedeutet, wir müssen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen - das ist der sog. Hauptnenner.

Doch wie berechnet man den Hauptnenner?

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner dieser Brüche.

Vorgehen

  1. Hauptnenner finden
  2. Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner bringen

Beispiel

Die folgenden beiden Brüche sollen gleichnamig gemacht werden.

\[\frac{1}{3}; \quad \frac{2}{4};\]

1.) Hauptnenner finden

Der Hauptnenner entspricht dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der beiden Nenner. Das kgV von 3 und 4 ist 12.

2.) Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner bringen

\[\frac{1}{{\color{blue}3}} \cdot \frac{{\color{red}4}}{{\color{red}4}} = \frac{4}{12}\]

\[\frac{2}{{\color{red}4}} \cdot \frac{{\color{blue}3}}{{\color{blue}3}} = \frac{6}{12}\]

Damit wurden die beiden Brüche gleichnamig gemacht.

...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche gleichnamig machen.

Bruchrechnen 2a): Addieren

Vorgehen

  1. Brüche gleichnamig machen
  2. Zähler addieren

Beispiel

\[\frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\color{red}5}}{{\color{red}5}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}} = \frac{10}{15} + \frac{3}{15} =\frac{10 + 3}{15} = \frac{13}{15}\]

...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche addieren.

Bruchrechnen 2b): Subtrahieren

Vorgehen

  1. Brüche gleichnamig machen
  2. Zähler voneinander subtrahieren

Beispiel

\[\frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\color{red}5}}{{\color{red}5}} - \frac{1}{5} \cdot \frac{{\color{red}3}}{{\color{red}3}}=\frac{10 - 3}{15} = \frac{7}{15}\]

...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche subtrahieren.

Bruchrechnen 2c): Multiplizieren

Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

Beispiel

\[\frac{{\color{blue}2}}{{\color{red}3}} \cdot \frac{{\color{blue}4}}{{\color{red}5}} = \frac{{\color{blue}2} \cdot {\color{blue}4}}{{\color{red}3} \cdot {\color{red}5}} =\frac{8}{15}\]

...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche multiplizieren.

Bruchrechnen 2d): Dividieren

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.

Beispiel

\[\frac{2}{3} :\frac{{\color{blue}3}}{{\color{red}5}} = \frac{2}{3} \cdot\frac{{\color{red}5}}{{\color{blue}3}} =\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{10}{9}\]

...mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Brüche dividieren.

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Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!