Brüche

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Brüche sind.

Im täglichen Leben kommen Brüche sehr häufig vor, z.B. bei

  • Zeitangaben
    „Wir treffen uns um drei viertel acht.“

  • Längenangaben
    „Das nächste Kino ist einen halben Kilometer entfernt.“

  • Volumenangaben
    „Eine Dose enthält einen drittel Liter.“

  • Verhältnisangaben
    In einer 5er-Gruppe befinden sich 3 Jungen und 2 Mädchen.
    Drei Fünftel der Gruppe sind Jungen, zwei Fünftel sind Mädchen.“

Um Brüche graphisch darzustellen, verwendet man häufig Torten.

Beispiel

Eine Torte wird in vier gleich große Teile geteilt.
Jedes Tortenstück entspricht dann einem Viertel der Torte.



> ein Stück Torte = ein Viertel
> zwei Stück Torte = zwei Viertel



> drei Stück Torte = drei Viertel
> vier Stück Torte = vier Viertel

Jetzt hast du ein klares Bild von einem Bruch: ein Stück Torte.

Etwas mathematischer formuliert, können wir festhalten:

Brüche beschreiben einen Teil eines Ganzen.

Beispiel

Ein Stück Torte ist ein Teil einer ganzen Torte.

Schreibweise von Brüchen

Beispiel

Eine (= 1) Torte wird in vier (= 4) gleich große Teile geteilt.
Die Größe eines Stücks beträgt \(1:4\) („eins geteilt durch vier“).
Statt \(1:4\) schreiben wir in der Mathematik \(\frac{1}{4}\) („ein Viertel“).

Um Brüche darzustellen, verwendet man die „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“.

Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise

\[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]

\(\rightarrow\) der Nenner steht unterhalb des Bruchstrichs
        er gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt worden ist
\(\rightarrow\) der Zähler steht oberhalb des Bruchstrichs
        er gibt an, wie viele Teile davon in diesem Falle gemeint sind

Beispiel

„Wir haben schon \(\frac{3}{8}\) der Torte gegessen!“

Der Nenner gibt an, dass eine Torte in 8 Teile geteilt worden ist.
Der Zähler gibt an, dass in diesem Fall 3 Stück Torte gemeint sind.

Merkhilfe

Dass der Zähler oben und der Nenner unten steht, kann man sich folgendermaßen gut merken:

Du läufst einen Turm hoch.
Wenn du OBEN bist, hast du die Treppenstufen GEZÄHLT.
Wenn du UNTEN bist, dann kannst du mir die Stufen NENNEN.

Wenn der Zähler gleich Null ist, hat der Bruch den Wert 0.

Beispiel

\(\frac{0}{5} = 0\)

Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein.

Eine Division durch 0 ist nicht definiert!

Beispiel

\(\frac{5}{0} = \text{nicht möglich!}\)

Üblicherweise werden für Zähler und Nenner natürliche Zahlen verwendet.

Ein eventuell vorhandenes negatives Vorzeichen wird vor den Bruch gesetzt.

Beispiele

\(\frac{-3}{4} = -\frac{3}{4}\)

\(\frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}\)

Sind sowohl Zähler als auch Nenner negativ, ist der Bruch positiv.

Beispiel

\(\frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}\)

Ganze Zahlen lassen sich auch als Brüche schreiben.

Beispiele

\(5 = \frac{5}{1}\)

\(-7 = -\frac{7}{1}\)

Sprechweise von Brüchen

a) Nenner \(<\) 100

  1.) Unregelmäßige
      Sprechweise
\(\frac{1}{1}\) ein Eintel
\(\frac{1}{2}\) ein Halb
       \(\frac{2}{2}\)        zwei Halbe
       \(\frac{3}{2}\)        drei Halbe
\(\frac{1}{3}\) ein Drittel
       \(\frac{2}{3}\)        zwei Drittel
\(\frac{1}{4}\) ein Viertel
\(\frac{1}{5}\) ein Fünftel
\(\frac{1}{6}\) ein Sechstel
\(\frac{1}{7}\) ein Siebtel
\(\frac{1}{8}\) ein Achtel
  2.) „ZAHL+tel“
\(\frac{1}{9}\) ein Neuntel
  \(\vdots\)      \(\vdots\)
\(\frac{1}{19}\) ein Neunzehntel
  3.) „ZAHL+stel“
\(\frac{1}{20}\) ein Zwanzigstel
  \(\vdots\)      \(\vdots\)
\(\frac{1}{99}\) ein Neunundneunzigstel

b) Nenner \(\geq\) 100

Endziffern des Nenners   Beispiel  
  1.) Unregelmäßige
      Sprechweise
   
-01 -eintel \(\frac{1}{101}\) ein Hunderteintel
-02 -zweitel \(\frac{1}{202}\) ein Zweihundertzweitel
-03 -drittel \(\frac{1}{303}\) ein Dreihundertdrittel
-04 -viertel \(\frac{1}{404}\) ein Vierhundertviertel
-05 -fünftel \(\frac{1}{505}\) ein Fünfhundertfünftel
-06 -sechstel \(\frac{1}{606}\) ein Sechshundertsechstel
-07 -siebtel \(\frac{1}{707}\) ein Siebenhundertsiebtel
-08 -achtel \(\frac{1}{808}\) ein Achthundertachtel
  2.) „ZAHL+tel“    
-09 -neuntel \(\frac{1}{109}\) ein Hundert-9-tel
  \(\vdots\)      \(\vdots\)    
-19 -neunzehntel \(\frac{1}{119}\) ein Hundert-19-tel
  3.) „ZAHL+stel“    
-20 -zwanzigstel \(\frac{1}{120}\) ein Hundert-20-stel
  \(\vdots\)      \(\vdots\)    
-99 -neunundneunzigstel \(\frac{1}{199}\) ein Hundert-99-stel
       
-00 -stel \(\frac{1}{100}\) ein Hundertstel
    \(\frac{1}{200}\) ein Zweihundertstel
    \(\frac{1}{1000}\) ein Tausendstel
    \(\frac{1}{2000}\) ein Zweitausendstel

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Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!