Brüche kürzen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Kürzen von Brüchen.

Eine Torte wird in acht gleich große Teile geteilt. Jedes Stück hat dann eine Größe von einem Achtel (\(\frac{1}{8}\)) der Torte.

Es kommen vier Gäste,
von denen jeder 2 Stück Torte (= \(\frac{2}{8}\)) isst.

Wenn man je zwei Stücke der obigen Torte zusammenklebt, müsste jeder Gast nur noch ein Stück (= \(\frac{1}{4}\)) essen, um auf dieselbe Menge zu kommen wie oben.

Offenbar gilt: \[\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\]

Das Umformen von \(\frac{2}{8}\) zu \(\frac{1}{4}\) bezeichnet man als „Kürzen“.
Kürzen heißt, die Einteilung oder Stückelung eines Bruches zu vergröbern.
Die Einteilung wird in unserem Beispiel von 8 kleinen auf 4 große Stücke vergröbert.

Problemstellung

Jeder Bruch steht für eine bestimmte Zahl, die der „Wert“ des Bruchs genannt wird.

Beispiel

\(\frac{1}{4} = 0,25\)

Zu jedem Bruch gibt es unendlich viele weitere Brüche mit demselben Wert.

Beispiel

\(\frac{1}{4} = 0,25\)

\(\frac{1 \cdot {\color{red}2}}{4 \cdot {\color{red}2}} = \frac{2}{8} = 0,25\)

\(\frac{1 \cdot {\color{red}3}}{4 \cdot {\color{red}3}} = \frac{3}{12} = 0,25\)

\(\frac{1 \cdot {\color{red}4}}{4 \cdot {\color{red}4}} = \frac{4}{16} = 0,25\)

...

Aus dem Kapitel Brüche erweitern wissen wir bereits, dass gilt:

Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben Zahl multipliziert:

\[\frac{a}{b} = \frac{a \cdot {\color{red}c}}{b \cdot {\color{red}c}} \quad \text{mit } c \neq 0\]

Umgekehrt gilt:

Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht,
wenn man Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler dividiert:

\[\frac{ac : {\color{red}c}}{bc : {\color{red}c}} = \frac{a}{b}\]

Brüche kürzen - Beispiel

Kürze \(\frac{6}{9}\) mit 3.

Lösung

Zähler und Nenner durch 3 dividieren

\(\frac{6: {\color{red}3}}{9 : {\color{red}3}} = \frac{2}{3}\)

Begriff: Kürzungszahl

Die Zahl, durch die man Zähler und Nenner beim Kürzen dividiert,
heißt Kürzungszahl.

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Kürzungszahl.

Brüche vollständig kürzen

Das Ziel beim Kürzen ist meistens, den Bruch in eine Form zu bringen, bei der sich der Bruch nicht mehr weiter kürzen lässt. Man sagt dann, der Bruch ist vollständig gekürzt. Das ist genau dann der Fall, wenn es keinen gemeinsamen Teiler (größer als 1) von Zähler und Nenner gibt.

Beispiel

Wir kürzen den Bruch \(\frac{18}{27}\) auf \(\frac{6}{9}\) (\(\rightarrow\) Kürzungszahl = 3).
Der Bruch \(\frac{6}{9}\) ist nicht vollständig gekürzt,
da Zähler und Nenner noch durch 3 dividiert werden können.

Wir kürzen den Bruch \(\frac{18}{27}\) auf \(\frac{2}{3}\) (\(\rightarrow\) Kürzungszahl = 9).
Der Bruch \(\frac{2}{3}\) ist vollständig gekürzt,
da Zähler und Nenner (außer 1) keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Um einen Bruch vollständig zu kürzen, musst du den Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) kürzen. Die Kürzungszahl ist also der ggT des Nenners und des Zählers.

Vorgehensweise

  1. Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen
  2. Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, streichen

zu 1.)

Zunächst zerlegen wir den Zähler und den Nenner des Bruchs in Faktoren. Diesen Vorgang bezeichnet man auch als „Faktorisieren“. Das Faktorisieren von Brüchen, deren Zähler und Nenner lediglich aus Zahlen bestehen, erfolgt mittels Primfaktorzerlegung.

zu 2.)

Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).

Beispiel 1

\[\frac{2}{6} =\frac{2}{2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2}}{\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{1}{3}\]

Beispiel 2

\[\frac{8}{12} =\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 2}{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{2}{3}\]

Beispiel 3

\[\frac{18}{27} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2 \cdot \bcancel{3} \cdot \bcancel{3}}{3 \cdot \bcancel{3} \cdot \bcancel{3}} = \frac{2}{3}\]

Anmerkung: Das Streichen (oder Kürzen) der gemeinsamen Faktoren entspricht der Division des Zählers und des Nenners durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT).

Wie man Brüche kürzt, in denen Variablen vorkommen, erfährst du im Kapitel Bruchterme kürzen. Du wirst sehen, dass die Vorgehensweise (fast) genau dieselbe ist.

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Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!