Brüche vergleichen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man Brüche vergleichen kann.
Problemstellung
Gegeben sind zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$.
Die Frage ist, ob $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ oder $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ gilt.
Bei zähler- und nennergleichen Brüchen lässt sich diese Frage ohne Rechnung beantworten.
Zählergleiche Brüche
Bei zählergleichen Brüchen ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer.
Vergleiche die Brüche $\frac{{\color{green}5}}{6}$ und $\frac{{\color{green}5}}{7}$.
$$ \frac{{\color{green}5}}{6} > \frac{{\color{green}5}}{7} $$
Der größere Bruch ist der mit dem kleineren Nenner.
Vergleiche die Brüche $\frac{{\color{green}3}}{4}$ und $\frac{{\color{green}3}}{4}$.
$$ \frac{{\color{green}3}}{4} = \frac{{\color{green}3}}{4} $$
Die Brüche sind gleich.
Vergleiche die Brüche $\frac{{\color{green}7}}{9}$ und $\frac{{\color{green}7}}{8}$.
$$ \frac{{\color{green}7}}{9} < \frac{{\color{green}7}}{8} $$
Der größere Bruch ist der mit dem kleineren Nenner.
Nennergleiche Brüche
Bei nennergleichen Brüchen ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer.
Vergleiche die Brüche $\frac{2}{{\color{green}3}}$ und $\frac{1}{{\color{green}3}}$.
$$ \frac{2}{{\color{green}3}} > \frac{1}{{\color{green}3}} $$
Der größere Bruch ist der mit dem größeren Zähler.
Vergleiche die Brüche $\frac{5}{{\color{green}6}}$ und $\frac{5}{{\color{green}6}}$.
$$ \frac{5}{{\color{green}6}} = \frac{5}{{\color{green}6}} $$
Die Brüche sind gleich.
Vergleiche die Brüche $\frac{1}{{\color{green}4}}$ und $\frac{3}{{\color{green}4}}$.
$$ \frac{1}{{\color{green}4}} < \frac{3}{{\color{green}4}} $$
Der größere Bruch ist der mit dem größeren Zähler.
Brüche mit ungleichen Zählern und Nennern
Bei Brüchen, deren Zähler und Nenner sich voneinander unterscheiden, lässt sich nicht auf den ersten Blick erkennen, wie die Brüche zueinander stehen. Wir müssen dann ein wenig rechnen:
Multiplikation über Kreuz
$$ (1) \quad \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} > \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Leftrightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} > {\color{red}b} \cdot {\color{red}c} $$
$$ (2) \quad \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} = \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Leftrightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} = {\color{red}b} \cdot {\color{red}c} $$
$$ (3) \quad \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} < \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Leftrightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} < {\color{red}b} \cdot {\color{red}c} $$
Vergleiche die Brüche $\frac{{\color{green}7}}{{\color{red}9}}$ und $\frac{{\color{red}3}}{{\color{green}4}}$.
$$ {\color{green}7} \cdot {\color{green}4} > {\color{red}9} \cdot {\color{red}3} \quad \Rightarrow \quad 28 > 27 \quad \Rightarrow \quad \frac{7}{9} > \frac{3}{4} $$
Vergleiche die Brüche $\frac{{\color{green}2}}{{\color{red}5}}$ und $\frac{{\color{red}4}}{{\color{green}10}}$.
$$ {\color{green}2} \cdot {\color{green}10} = {\color{red}5} \cdot {\color{red}4} \quad \Rightarrow \quad 20 = 20 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{5} = \frac{4}{10} $$
Vergleiche die Brüche $\frac{{\color{green}2}}{{\color{red}3}}$ und $\frac{{\color{red}5}}{{\color{green}7}}$.
$$ {\color{green}2} \cdot {\color{green}7} < {\color{red}3} \cdot {\color{red}5} \quad \Rightarrow \quad 14 < 15 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{3} < \frac{5}{7} $$
Neben der Multiplikation über Kreuz gibt es weitere Methoden, um Brüche zu vergleichen:
- Brüche gleichnamig machen und anschließend die Zähler vergleichen
- Dezimalbrüche berechnen und diese vergleichen
Außerdem kann man manchmal ohne Rechnung feststellen, wie die Brüche zueinander stehen:
Wenn bei einem der Brüche der Zähler größer ist als der Nenner (der Bruch also größer als $1$ ist) und beim anderen der Zähler kleiner als der Nenner ist (der Bruch also kleiner als $1$ ist), kann man ohne zu rechnen sehen, welcher Bruch größer ist.
Oftmals ist es auch sinnvoll, sich Zähler und Nenner unter dem Aspekt anzuschauen, ob der Zähler mehr oder weniger als der Hälfte des Nenners entspricht.
$$ \frac{400}{777} > \frac{107}{232} $$
$400$ ist mehr als die Hälfte von $777$ und $107$ ist weniger als die Hälfte von $232$
In der Regel verwendet man die Multiplikation über Kreuz, um Brüche zu vergleichen. Unabhängig davon, welches Verfahren du verwendest, lohnt es sich meistens, die Brüche zunächst zu kürzen (Brüche kürzen), um die nachfolgenden Rechnungen zu vereinfachen. Sonderfall: Wenn die beiden vollständig gekürzten Brüche einander entsprechen, kann man sich weitere Berechnungen sparen. Die Brüche sind dann gleich (Gleichheit von Brüchen).
