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Cramersche Regel

In diesem Kapitel schauen wir uns die Cramersche Regel an.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Die Cramersche Regel ist eine mathematische Formel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Die Cramersche Regel kennen wir bereits aus dem Kapitel 3x3 Determinanten berechnen. Das im Folgenden vorgestellte Verfahren eignet sich deshalb nur zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen und 3 Variablen.

Beispiel 

Beispiel 1 

Löse das lineare Gleichungssystem

$$ \begin{align*} 1x_1 + 1x_2 + 1x_3 &= {\color{red}6} \\ 2x_1 - 1x_2 + 2x_3 &= {\color{red}6} \\ 3x_1 - 2x_2 + 1x_3 &= {\color{red}2} \end{align*} $$

mithilfe der Cramerschen Regel.

Die Formeln zur Berechnung der einzelnen Variablen bestehen aus einem Zähler und einem Nenner. Der Nenner ist immer gleich: Es handelt sich dabei um die Determinante der Koeffizienten (linke Seite des Gleichungssystems).

$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 6 $$

$\boldsymbol{x_1}$ berechnen

Der Zähler der Formel zur Berechnung von $x_1$ ist die Koeffizienten-Determinante, wobei die 1. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt ist:

$$ x_{\color{red}1} = \frac{\det(A_{\color{red}1})}{\det(A)} = \frac{ \begin{vmatrix} {\color{red}6} & 1 & 1 \\ {\color{red}6} & -1 & 2 \\ {\color{red}2} & -2 & 1 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} } = \frac{6}{6} = 1 $$

$\boldsymbol{x_2}$ berechnen

Der Zähler der Formel zur Berechnung von $x_2$ ist die Koeffizienten-Determinante, wobei die 2. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt ist.

$$ x_{\color{red}2} = \frac{\det(A_{\color{red}2})}{\det(A)} = \frac{ \begin{vmatrix} 1 & {\color{red}6} & 1 \\ 2 & {\color{red}6} & 2 \\ 3 & {\color{red}2} & 1 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{12}{6} = 2 $$

$\boldsymbol{x_3}$ berechnen

Der Zähler der Formel zur Berechnung von $x_3$ ist die Koeffizienten-Determinante, wobei die 3. Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt ist.

$$ x_{\color{red}3} = \frac{\det(A_{\color{red}3})}{\det(A)} = \frac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & {\color{red}6} \\ 2 & -1 & {\color{red}6} \\ 3 & -2 & {\color{red}2} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{18}{6} = 3 $$

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