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Determinante berechnen nach Gauß

In diesem Kapitel besprechen wir, wie man mit Hilfe des Gauß-Algorithmus eine Determinante berechnet. Gesucht ist die Determinante der folgenden Matrix

\(A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & -6\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad
|A| = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & -6\\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \text{ ???}\)

Hinweis: Normalerweise würde man 3x3 Determinanten mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen. Diese Regel gilt jedoch nur für 3x3 Determinanten! Das im Folgenden vorgestellte Verfahren, eignet sich dementsprechend für alle Determinanten größer Dimension 3 und stellt eine gute Alternative zu dem Laplace'schen Entwicklungssatz dar, der mit einem deutlich größeren Rechenaufwand verbunden ist.

Du kannst übrigens auch mit deinem Casio Taschenrechner eine Determinante berechnen.

Exkurs: Determinante einer Dreiecksmatrix

Nach einigen Umformungen mit Hilfe des Gauß-Algorithmus (..dazu gleich mehr!) sieht unsere Determinante so aus

\(|\tilde{A}| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -2\\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix}\)

Als Ergebnis erhalten wir (wie für den Gauß-Algorithmus typisch) eine obere Dreiecksmatrix - das ist eine Matrix, bei der alle Elemente unter der Hauptdiagonalen gleich null sind. Doch was hat uns die Umformung in eine Dreiecksmatrix gebracht? Die Determinante lässt sich jetzt sehr leicht berechnen:

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente.

\(|\tilde{A}| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -2\\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) \cdot (-6) = 6\)

So weit, so gut! Doch wir wollen die Determinante der Matrix \(A\) berechnen, und nicht die der Matrix \(\tilde{A}\). Die Determinante von \(A\) ist nämlich 12.

Es gilt

\(det (A) \neq det (\tilde{A})\)

Doch warum ist das so? Ganz einfach: Der Gauß-Algorithmus basiert auf elementaren Zeilenumformungen. Dadurch ändert sich zwar die Lösung des Gleichungssystems nicht, jedoch der Wert der Determinanten. Schauen wir uns deshalb zunächst die relevanten Eigenschaften von Determianten an.

Exkurs: Eigenschaften einer Determinante

Eigenschaft 1: Addiert man zu einer Zeile das Vielfache einer anderen (!) Zeile, so ändert sich die Determinante nicht.

Eigenschaft 2: Multipliziert man eine Zeile mit einer Zahl \(\lambda\), so ändert sich die Determinante, um das \(\lambda\)-fache.

Da man Zeilen beim Gauß-Algorithmus häufig mit einer Zahl \(\lambda\) multipliziert, muss man anschließend die Determinante durch \(\lambda\) dividieren bzw. mit \(1/\lambda\) multiplizieren, damit der Wert der Determinanten erhalten bleibt.

Gauß-Algorithmus - Beispiel

Zurück zu unserer Determinante

\(|A| = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & -6\\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix}\)

Schritt 1: Division der 1. Zeile durch 2

Um die nachfolgenden Schritte zu vereinfachen, teilen wir die 1. Zeile durch 2. Da sich dadurch die Determinante halbiert (vgl. Eigenschaft 2), muss man die Determinante mit 2 multiplizieren, damit ihr Wert trotz der Umformung erhalten bleibt.

\(|A| =\colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}2}\)} \cdot \begin{vmatrix}
{\color{red}1}&{\color{red}-1}&{\color{red}2}\\
-2 & 1 & -6\\
1 & 0 & -2
\end{vmatrix}\)

Schritt 2: Berechnung der Null in der 3. Zeile (1. Spalte)

Um die Null zu berechnen, ziehen wir von der 3. Zeile die 1. Zeile ab.
Die Determinante ändert sich dadurch nicht (vgl. Eigenschaft 1).

\(|A| =\colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}2}\)} \cdot \begin{vmatrix}
1 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & -6\\
{\color{red}0}& 1 & -4
\end{vmatrix}\)

Schritt 3: Berechnung der Null in der 2. Zeile (1. Spalte)

Um die Null zu berechnen, addieren wir zu der 2. Zeile zweimal die 1. Zeile.
Die Determinante ändert sich dadurch nicht (vgl. Eigenschaft 1).

\(|A| =\colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}2}\)} \cdot \begin{vmatrix}
1 & -1 & 2 \\
{\color{red}0}& -1 & -2\\
{\color{red}0}& 1 & -4
\end{vmatrix}\)

Schritt 4: Berechnung der Null in der 3. Zeile (2. Spalte)

Um die Null zu berechnen, addieren wir zu der 3. Zeile die 2. Zeile.
Die Determinante ändert sich dadurch nicht (vgl. Eigenschaft 1).

\(|A| =\colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}2}\)} \cdot \begin{vmatrix}
1 & -1 & 2 \\
{\color{red}0}& -1 & -2\\
{\color{red}0}&{\color{red}0}& -6
\end{vmatrix}\)

Ergebnis

Da wir jetzt eine Dreiecksmatrix vor uns haben, müssen wir noch nur die Elemente der Hauptdiagonalen miteinander multiplizieren, um das Ergebnis zu erhalten.

\(|A| =\colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}2}\)} \cdot \begin{vmatrix}
1 & -1 & 2 \\
0 & -1 & -2\\
0 & 0 & -6
\end{vmatrix} =\colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}2}\)} \cdot [1 \cdot (-1) \cdot (-6)] = 12\)

Da wir einmal eine Zeile durch 2 geteilt haben, gilt

\(det (A) = 2 \cdot det (\tilde{A})\)

wobei \(\tilde{A}\) die Matrix in Dreiecksform ist.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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