Differentialquotient

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Differentialquotient ist.

Problemstellung

Bei den linearen Funktionen sind wir zum ersten Mal dem Begriff "Steigung einer Funktion" begegnet. (Bitte jetzt den folgenden Artikel wiederholen: Steigung einer linearen Funktion)

Wir kennen bereits die Steigungsformel, \[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\] mit deren Hilfe man aus zwei beliebigen Punkten \(\text{P}_0(x_0|y_0)\) und \(\text{P}_1(x_1|y_1)\) die Steigung \(m\) der Geraden berechnen kann.

Interessant ist, dass eine Gerade in jedem Punkt (auf der Geraden) die gleiche Steigung besitzt. \(m\) ist also konstant.

Wir merken uns:

Eine Gerade besitzt eine konstante Steigung.

Quadratische Funktionen haben wir auch schon kennengelernt: Wir wissen bereits, dass der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel ist (siehe Abbildung).

Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie die Steigung einer Kurve (= gekrümmter Graph) definiert ist. Es leuchtet intuitiv ein, dass die Kurve in den Punkten \(\text{P}_0\) und \(\text{P}_1\) eine unterschiedliche Steigung besitzt. Die Steigung \(m\) nimmt folglich keinen konstanten Wert an.

Wir merken uns:

Eine Kurve besitzt keine konstante Steigung.

Fraglich bleibt, was man unter der Steigung einer Kurve überhaupt versteht und wie man diese berechnet. Die Antwort auf diese Fragen liefert die Differentialrechnung:

Mit Hilfe der Differentialrechnung können wir unser Begriffsverständnis einer Steigung von Geraden auf Kurven ausdehnen:

\(\text{Steigung einer Geraden} ~\xrightarrow{+\text{Differentialrechnung}}~ \text{Steigung einer Kurve}\)

Bereits im letzten Kapitel haben wir versucht, uns der Steigung einer Kurve ein wenig anzunähern. Dabei sind wir auf den Differenzenquotienten gestoßen:

Gegeben ist eine Kurve.

Wir markieren zwei beliebige Punkte, die auf der Kurve liegen.

Anschließend ziehen wir durch die beiden Punkte eine Gerade.

Eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht, bezeichnet man als Sekante.

Die Formel für die Steigung der Sekante können wir mit Hilfe eines Steigungsdreiecks herleiten.

Für die Sekantensteigung \(m\) gilt folglich: \[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\] Diese Formel bezeichnet man auch als
\({\colorbox{yellow}{Differenzenquotient}}\).

Üblicherweise verwendet man für den Differenzenquotienten folgende Schreibweise: \[m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\]
Dabei gilt: \(f(x_1) = y_1\)
                 \(f(x_0) = y_0\)

Der Differenzenquotient ist leider nur ein Zwischenschritt auf dem Weg zur Steigung einer Kurve. Grund dafür ist, dass er die Steigung einer Geraden angibt, die durch zwei Kurvenpunkte verläuft. Gesucht ist allerdings die Steigung in einem Kurvenpunkt.

Im Folgenden wollen wir also herausfinden, wie Steigung in einem Punkt der Kurve definiert ist.

Bloß, wie stellen wir das an?

Idee

Wir wählen den Punkt \(\text{P}_1\) so, dass er möglichst nah an dem Punkt \(\text{P}_0\) liegt.

Differenzenquotient \(\rightarrow\) Differentialquotient

In der Animation ist schön zu erkennen, was bei der Annäherung von \(\text{P}_1\) an \(\text{P}_0\) passiert:
Die Sekante wird zu einer Tangente.

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt.

Hinter der "Annäherung von \(\text{P}_1\) an \(\text{P}_0\)" verbirgt sich mathematisch betrachtet der Grenzwert.

Die Steigung \(m\) der Tangente im Punkt \(\text{P}_0\) ist demnach folgendermaßen definiert: \[m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\] Diese Formel bezeichnet man auch als
\({\colorbox{yellow}{Differentialquotient}}\).

Zusammenfassend gilt:

Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

\[\overbrace{\lim_{x_1 \to x_0} \underbrace{\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}}}_{\qquad\text{Differenzenquotient}}^{\text{Differentialquotient}}\]

Um den Differentialquotienten vom Differenzenquotienten zu unterscheiden, musst du dir eigentlich nur merken, dass der Differenzenquotient ein Quotient aus Differenzen ist.

Zurück zum Thema: Wie ist jetzt eigentlich die Steigung einer Kurve definiert?

Die Steigung einer Kurve im Punkt \(\text{P}_0(x_0|y_0)\) entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt.

Der Differentialquotient im Vergleich

  Differentialquotient Differenzenquotient
Formel \[m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\] \[m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\]
Bedeutung Steigung der Tangente, die die Kurve im Punkt \(\text{P}_0(x_0|y_0)\) berührt Steigung der Sekante, die durch die Punkte \(\text{P}_0(x_0|y_0)\) und \(\text{P}_1(x_1|y_1)\) verläuft
Alternative
Schreibweise
\[m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\] \[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\]
Abkürzende
Schreibweise
\[m = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\] \[m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Leider sind Berechnungen mit dem Differentialquotienten stets sehr zeitaufwändig. Im nächsten Kapitel (> h-Methode) lernen wir deshalb eine Funktion kennen, die den Rechenaufwand erheblich verkürzt. Diese Funktion heißt Ableitungsfunktion (oder kurz: Ableitung). Die Ableitungsfunktion ordnet jeder Stelle \(x_0\) den Wert ihres Differentialquotienten zu. Auf diese Weise können wir die Tangentensteigung im Punkt \(\text{P}_0(x_0|y_0)\) ohne den Einsatz des Differentialquotienten berechnen.

Mehr zum Thema Differentialrechnung

Im Zusammenhang mit der Differentialrechnung gibt es einige interessante Themen:

Steigung einer linearen Funktion
(Geradensteigung)

\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Differenzenquotient
(> Sekantensteigung)

\[m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Differentialquotient
(> Tangentensteigung)
\[m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
h-Methode
(> Ableitung)
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!