Diskrete Verteilung
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine diskrete Verteilung ist.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (kurz: Verteilung) gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariable verteilen.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen können wir ebenso wie Zufallsvariablen in diskret und stetig einteilen.
Definition
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable heißt diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz diskrete Verteilung.
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen lassen durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Verteilungsfunktion beschreiben. Beide Funktionen enthalten die gleiche Information. Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Information.
Beispiele für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Binomialverteilung
- Hypergeometrische Verteilung
- Poisson-Verteilung
Beispiel
Die Zufallsvariable $X$ sei die Augenzahl beim Wurf eines symmetrischen Würfels.
Es gibt sechs mögliche Realisationen:
$x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$, $x_4 = 4$, $x_5 = 5$, $x_6 = 6$
Alle sechs Realisationen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:
$$ p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \frac{1}{6} $$
1) Wahrscheinlichkeitsfunktion
$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6} & \text{für } x = 1 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 2 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } x = 3 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 4 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für } x = 5 \\ \frac{1}{6} & \text{für } x = 6 \\[5px] 0 & \text{sonst } \end{cases} \end{equation*} $$
Merke: $f(x) = P(X = x)$
2) Verteilungsfunktion
$$ \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 1 \\ \frac{1}{6} & \text{für } 1 \le x < 2 \\[5px] \frac{2}{6} & \text{für } 2 \le x < 3 \\[5px] \frac{3}{6} & \text{für } 3 \le x < 4 \\[5px] \frac{4}{6} & \text{für } 4 \le x < 5 \\[5px] \frac{5}{6} & \text{für } 5 \le x < 6 \\[5px] 1 & \text{für } x \ge 6 \end{cases} \end{equation*} $$
Merke: $F(x) = P(X \le x)$
Maßzahlen
Wir wissen bereits, dass sich eine diskrete Verteilung entweder durch eine
vollständig beschreiben lässt.
Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig: Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u. a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.
