Dreisatz

In diesem Kapitel besprechen wir den Dreisatz.

Der Dreisatz ist ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben.

Wir kennen zwei Arten von Proportionalität:

Die Bezeichnung "Dreisatz" kommt daher, dass die Lösung in drei Schritten berechnet wird:

Vorgehensweise

  1. Bekannt: Welche Daten sind bekannt?
  2. Folgerung: Was lässt sich über eine (!) Einheit der Größe sagen?
  3. Schluss: Was lässt sich über die gesuchte Größe sagen?

Dreisatz (Proportionale Zuordnung)

25 kg Reis kosten 100 Euro. Wie viel kosten 10 kg Reis?

Vorüberlegungen

Es sind zwei Größen gegeben: "Gewicht" und "Preis".

Zwischen "Gewicht" und "Preis" besteht ein proportionaler Zusammenhang:
- Je mehr (Gewicht), desto mehr (Preis)
- Je weniger (Gewicht), desto weniger (Preis)

1.) Welche Daten sind bekannt?

Die Informationen aus der Aufgabenstellung schreiben wir übersichtlich in eine Tabelle.

\(\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Reis (kg)} & & \text{Preis (Euro)} & \\
\hline
25 & & 100 & \\
& & & \\
10 & & x &
\end{array}\)

\(25\) kg verhält sich zu \(100\) Euro wie \(10\) kg zu \(x\) Euro.

2.) Wie viel kostet 1 kg?

Wir wissen, dass 25 kg Reis 100 Euro kosten. Wie viel kosten 10 kg Reis?

In einem Zwischenschritt berechnen wir, wie viel 1 kg Reis kostet.

Um von 25 kg zu 1 kg zu kommen, müssen wir durch 25 dividieren. Da es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt, wird auch der Preis durch 25 dividiert:

Je weniger (Gewicht), desto weniger (Preis)
\(\Rightarrow\) Division

\(\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Reis (kg)} & & \text{Preis (Euro)} & \\
\hline
25 & :{\color{red}25} & 100 & :{\color{red}25}\\
1 & & \frac{100}{{\color{red}25}} & \\
10 & & x &
\end{array}\)

\(1\) kg Reis kostet \(\frac{100}{{\color{red}25}} = 4\) Euro.

3.) Was lässt sich über die gesuchte Größe sagen?

Nachdem wir den Preis für 1 kg (= Übergangswert) berechnet haben, fällt es uns leicht, den Preis einer beliebigen Menge Reis (z. B. 1,5 kg; 5 kg; 143,6 kg...) zu berechnen.

Wir interessieren uns in diesem Beispiel für den Preis von 10 kg Reis.

Um von 1 kg zu 10 kg zu kommen, müssen wir mit 10 multiplizieren. Da es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt, wird auch der Preis mit 10 multipliziert:

Je mehr (Gewicht), desto mehr (Preis)
\(\Rightarrow\) Multiplikation

\(\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Reis (kg)} & & \text{Preis (Euro)} & \\
\hline
25 & :25 & 100 & :25\\
1 & \cdot {\color{green}10} & \frac{100}{25} & \cdot {\color{green}10}\\
10 & & \frac{{\color{green}10} \cdot 100}{25} &
\end{array}\)

Antwort: \(10\) kg Reis kosten \(\frac{{\color{green}10} \cdot 100}{25} = 40\) Euro.

Dreisatz (Antiproportionale Zuordnung)

2 Personen brauchen für eine Arbeit (z. B. Rasenmähen) 12 Stunden.
Wie lange brauchen 6 Personen für diese Arbeit?

Vorüberlegungen

Zwischen "Personen" und "Stunden" besteht ein antiproportionaler Zusammenhang:
- Je mehr Personen, desto weniger Stunden werden benötigt
- Je weniger Personen, desto mehr Stunden werden benötigt

1.) Welche Daten sind bekannt?

Die Informationen aus der Aufgabenstellung schreiben wir übersichtlich in eine Tabelle.

\(\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Personen} & & \text{Stunden} & \\
\hline
2 & & 12 & \\
& & & \\
6 & & x &
\end{array}\)

\(2\) Personen verhalten sich zu \(12\) Arbeitsstunden wie \(6\) Personen zu \(x\) Arbeitsstunden.

2.) Wie lange braucht 1 Person?

Wir wissen, dass 2 Personen 12 Arbeitsstunden brauchen. Wie lange brauchen 6 Personen?

In einem Zwischenschritt berechnen wir, wie lange 1 Person braucht.

Um von 2 Personen zu 1 Person zu kommen, müssen wir durch 2 dividieren. Da es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt, werden die Stunden mit 2 multipliziert:

Je weniger (Personen), desto mehr (Stunden)
\(\Rightarrow\) Multiplikation

\(\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Personen} & & \text{Stunden} & \\
\hline
2 & :{\color{red}2} & 12 & \cdot {\color{green}2} \\
1 & & {\color{green}2} \cdot 12 & \\
6 & & x &
\end{array}\)

\(1\) Person braucht \({\color{green}2} \cdot 12 = 24\) Stunden.

3.) Was lässt sich über die gesuchte Größe sagen?

Nachdem wir die Arbeitsstunden für 1 Person (= Übergangswert) berechnet haben, fällt es uns leicht, die zu leistenden Arbeitsstunden einer beliebigen Anzahl von Personen zu berechnen.

Wir interessieren uns in diesem Beispiel für die Zahl der Stunden, die 6 Personen benötigen.

Um von 1 Person zu 6 Personen zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Da es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt, werden die Stunden durch 6 dividiert:

Je mehr (Personen), desto weniger (Stunden)
\(\Rightarrow\) Division

\(\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Personen} & & \text{Stunden} & \\
\hline
2 & :2 & 12 & \cdot 2 \\
1 & \cdot {\color{green}6} & 2 \cdot 12 & :{\color{red}6}\\
6 & & \frac{2 \cdot 12}{{\color{red}6}} &
\end{array}\)

Antwort: \(6\) Personen brauchen \(\frac{2 \cdot 12}{{\color{red}6}} = 4\) Stunden.

Übergangswert im 2. Schritt:
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Bislang haben wir uns im 2. Schritt gefragt:
"Was lässt sich über eine (!) Einheit der Größe sagen?"

Als Übergangswert ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) jedoch meist besser geeignet.

Beispiel 1

25 kg Reis kosten 100 Euro. Wie viel kosten 10 kg Reis?

Übergangswert = 1 Übergangswert = ggT

 

\(\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Reis (kg)} & & \text{Preis (Euro)} & \\
\hline
25 & :25 & 100 & :25\\
{\colorbox{yellow}{\(1\)}} & \cdot 10 & \frac{100}{25} & \cdot 10\\
10 & & \frac{10 \cdot 100}{25} &
\end{array}\)

\(10\) kg Reis kosten \(\frac{10 \cdot 100}{25} = 40\) Euro.

\(\text{ggT}(25;10) = {\colorbox{orange}{\(5\)}}\)

\(\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Reis (kg)} & & \text{Preis (Euro)} & \\
\hline
25 & :5 & 100 & :5\\
{\colorbox{orange}{\(5\)}} & \cdot 2 & \frac{100}{5} & \cdot 2\\
10 & & \frac{2 \cdot 100}{5} &
\end{array}\)

\(10\) kg Reis kosten \(\frac{2 \cdot 100}{5} = 40\) Euro.

Verwenden wir in diesem Beispiel den größten gemeinsamen Teiler als Übergangswert, vereinfacht sich die Berechnung folgendermaßen: Division durch 5 statt durch 25, Multiplikation mit 2 statt mit 10. Vor allem bei komplizierten Aufgaben, die man ohne Taschenrechner lösen muss, macht sich diese Vereinfachung deutlich bemerkbar.

Beispiel 2

2 Personen brauchen für eine Arbeit (z. B. Rasenmähen) 12 Stunden.
Wie lange brauchen 6 Personen für diese Arbeit?

Übergangswert = 1 Übergangswert = ggT

 

\(\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Personen} & & \text{Stunden} & \\
\hline
2 & :2 & 12 & \cdot 2 \\
{\colorbox{yellow}{\(1\)}} & \cdot 6 & 2 \cdot 12 & :6\\
6 & & \frac{2 \cdot 12}{6} &
\end{array}\)

\(6\) Personen brauchen \(\frac{2 \cdot 12}{6} = 4\) Stunden.

\(\text{ggT}(2;6) = {\colorbox{orange}{\(2\)}}\)

\(\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Personen} & & \text{Stunden} & \\
\hline
{\colorbox{orange}{\(2\)}} & \cdot 3 & 12 & :3 \\
- & - & - & - \\
6 & & \frac{12}{3} &
\end{array}\)

\(6\) Personen brauchen \(\frac{12}{3} = 4\) Stunden.

Verwenden wir in diesem Beispiel den größten gemeinsamen Teiler als Übergangswert, vereinfacht sich die Berechnung folgendermaßen: Der 2. Schritt fällt komplett weg!

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Dreisatz ein einfaches Verfahren zur Berechnung von Proportionalaufgaben ist. Für praktische Berechnungen (z. B. bei Klausuren) empfiehlt es sich, die einzelnen Schritte in einer Tabelle darzustellen. Diese Art der Darstellung ist übersichtlich und spart Zeit. Darüber hinaus sollte man im 2. Schritt des Dreisatzes den größten gemeinsamen Teiler als Übergangswert verwenden.

Um die Schwierigkeit zu erhöhen, werden oftmals zwei oder mehr Dreisätze ineinander verschachtelt. Mehr zu diesem Thema im nächsten Kapitel: Zusammengesetzter Dreisatz.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!