e-Funktion

In diesem Kapitel schauen wir uns die e-Funktion etwas genauer an.

Die e-Funktion (auch: Natürliche Exponentialfunktion) gehört zu den Exponentialfunktionen. Im Unterschied zu den Potenzfunktionen (z. B. \(y = x^2\)), bei denen die Variable in der Basis ist, steht bei Exponentialfunktionen (z. B. \(y = 2^x\)) die Variable im Exponenten.

Die Funktionsgleichung der e-Funktion ist \(f(x) = e^x\).

Die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion mit der Basis \(e\).

Bei \(e\) handelt es sich um die Eulersche Zahl, die folgenden Wert annimmt: \(e = 2,718182...\)

Graph der e-Funktion

Der Graph einer Exponentialfunktion heißt Exponentialkurve.

Um den Graphen der e-Funktion sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst mit Hilfe des Taschenrechners einige Funktionswerte und tragen diese dann in eine Wertetabelle ein. Beachte, dass in deinem Taschenrechner die Zahl \(e\) als Konstante eingespeichert ist!

\(f(-2) = e^{-2} = 0,135... \approx 0,14\)

\(f(-1,5) = e^{-1,5} = 0,223... \approx 0,22\)

\(f(-1) = e^{-1} = 0,367... \approx 0,37\)

\(f(-0,5) = e^{-0,5} = 0,606... \approx 0,61\)

\(f(0) = e^{0} = 1\)

\(f(0,5) = e^{0,5} = 1,648... \approx 1,65\)

\(f(1) = e^{1} = 2,718... \approx 2,72\)

\(f(1,5) = e^{1,5} = 4,481... \approx 4,48\)

\(f(2) = e^{2} = 7,389... \approx 7,39\)

Wir haben die Funktionswerte auf zwei Nachkommastellen gerundet. Diese Genauigkeit reicht zum Zeichnen des Graphen der e-Funktion normalerweise völlig aus.

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & -2 & -1,5 & -1 & -0,5 & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 \\
\hline
\text{y} & 0,14 & 0,22 & 0,37 & 0,61 & 1 & 1,65 & 2,72 & 4,48 & 7,39 \\
\end{array}




Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[f(x) = e^x\]

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

  1. Der Graph der e-Funktion verläuft oberhalb der x-Achse.
    \(\Rightarrow\) Die Wertemenge der e-Funktion ist \(\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}\).
  2. Der Graph der e-Funktion kommt der x-Achse beliebig nahe.
    \(\Rightarrow\) Die x-Achse ist waagrechte Asymptote der Exponentialkurve.
  3. Der Graph der e-Funktion schneidet die y-Achse im Punkt (0|1).
    (Laut einem Potenzgesetz gilt nämlich: \(e^0 = 1\).)
    \(\Rightarrow\) Der y-Achsenabschnitt der e-Funktion ist \(y = 1\).
  4. Der Graph der e-Funktion schneidet nicht die x-Achse.
    \(\Rightarrow\) Die e-Funktion hat keine Nullstellen!
  5. Der Graph der e-Funktion ist streng monoton steigend.
    \(\Rightarrow\) Je größer \(x\), desto größer \(y\)!

Wenn du bereits die ln-Funktion kennst, ist dir vielleicht Folgendes aufgefallen:
Die ln-Funktion besitzt genau die "umgekehrten" Eigenschaften wie die e-Funktion.
Warum das so ist? Ganz einfach: Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften

Funktionsgleichung \(f(x) = e^x\)
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)
Wertemenge \(\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}\)
Asymptote \(y = 0\) (also die x-Achse)
Schnittpunkt mit y-Achse
\(P(0|1)\) (wegen \(f(0) = e^0 = 1\))
Schnittpunkte mit x-Achse keine!
Monotonie streng monoton steigend
Ableitung \(f'(x) = e^x\)
Umkehrfunktion ln-Funktion \(f(x) = \ln(x)\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!