Einheitsvektor

In der Vektorrechnung und der analytischen Geometrie muss man häufig mit Einheitsvektoren rechnen. Doch was versteht man eigentlich unter einem Einheitsvektor?

Ein Vektor der Länge 1 heißt Einheitsvektor.

Die Formel für die Berechnung des Einheitsvektors \(\vec{a}^0\) lautet

\[\vec{a}^0 = \frac{1}{\bar{a}} \vec{a} = \frac{\vec{a}}{\bar{a}}\]

Der Einheitsvektor berechnet sich aus dem Vektor \(\vec{a}\) geteilt durch seine Länge \(\bar{a}\).

Beispiel

Gegeben ist der Vektor

\[\vec{a} = \begin{pmatrix} 3  \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\]

Wie lautet sein Einheitsvektor?

Zwischenschritt: Länge des Vektors berechnen

\[\bar{a} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = 7\]

Der Einheitsvektor ist dann entsprechend

\[\vec{a}^0 = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\]

Anwendung: Streckenabtragen

Mit einem Einheitsvektor kann man im Raum Strecken bekannter Länge in vorgegebener Richtung abtragen.

Aufgabenstellung: Wir starten bei dem Punkt (1/3/-2) und gehen 18 Einheiten in Richtung \(\vec{u}\) mit

\[\vec{u} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\]

Bei welchem Punkt landen wir?

Hinweis: Damit wir 18 Einheiten in Richtung \(\vec{u}\) gehen können, müssen wir den Vektor zunächst auf die Länge 1 normieren.

Zwischenschritt: Länge des Vektors berechnen

\[\bar{u} = \sqrt{7^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = 9\]

Der gesuchte Punkt Z berechnet sich zu

\[\vec{Z} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + 18 \cdot \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 11 \\ 6 \end{pmatrix} \]

Antwort: Wir landen bei Z (15/11/6).

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!