Einheitsvektor

In der Vektorrechnung und der analytischen Geometrie muss man häufig mit Einheitsvektoren rechnen. Doch was versteht man eigentlich unter einem Einheitsvektor?

Ein Vektor der Länge 1 heißt Einheitsvektor.

Die Formel für die Berechnung des Einheitsvektors \(\vec{a}^0\) lautet

\[\vec{a}^0 = \frac{1}{\bar{a}} \vec{a} = \frac{\vec{a}}{\bar{a}}\]

Der Einheitsvektor berechnet sich aus dem Vektor \(\vec{a}\) geteilt durch seine Länge \(\bar{a}\).

Beispiel

Gegeben ist der Vektor

\[\vec{a} = \begin{pmatrix} 3  \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\]

Wie lautet sein Einheitsvektor?

Zwischenschritt: Länge des Vektors berechnen

\[\bar{a} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = 7\]

Der Einheitsvektor ist dann entsprechend

\[\vec{a}^0 = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\]

Anwendung: Streckenabtragen

Mit einem Einheitsvektor kann man im Raum Strecken bekannter Länge in vorgegebener Richtung abtragen.

Aufgabenstellung: Wir starten bei dem Punkt (1/3/-2) und gehen 18 Einheiten in Richtung \(\vec{u}\) mit

\[\vec{u} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\]

Bei welchem Punkt landen wir?

Hinweis: Damit wir 18 Einheiten in Richtung \(\vec{u}\) gehen können, müssen wir den Vektor zunächst auf die Länge 1 normieren.

Zwischenschritt: Länge des Vektors berechnen

\[\bar{u} = \sqrt{7^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = 9\]

Der gesuchte Punkt Z berechnet sich zu

\[\vec{Z} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + 18 \cdot \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 11 \\ 6 \end{pmatrix} \]

Antwort: Wir landen bei Z (15/11/6).

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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