Einheitsvektor
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Einheitsvektor ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Ein Vektor der Länge $1$ heißt Einheitsvektor.
Einheitsvektor berechnen
Die Formel für die Berechnung des Einheitsvektors $\vec{a}^0$ lautet:
$$ \vec{a}^0 = \frac{1}{|a|} \vec{a} $$
Den Einheitsvektor erhalten wir, indem wir den Vektor $\vec{a}$ durch seine Länge $|\vec{a}|$ teilen.
Berechne den Einheitsvektor des Vektors $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$.
Betrag des Vektors berechnen
$$ \begin{align*} |\vec{a}| &= \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} \\[5px] &= \sqrt{9 + 4 + 36} \\[5px] &= 7 \end{align*} $$
Einheitsvektor berechnen
$$ \vec{a}^0 = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} $$
Wie das obige Beispiel zeigt, wird das Ergebnis oft nicht ausmultipliziert, um das Weiterrechnen zu vereinfachen.
Anwendung: Streckenabtragen
Den Einheitsvektor brauchen wir, um Strecken bekannter Länge in vorgegebener Richtung abzutragen.
Wir starten bei dem Punkt $P_1(1|3|{-2})$ und gehen 18 Einheiten in Richtung $\vec{v}$ mit
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} $$
Bei welchem Punkt $P_2$ landen wir?
Damit wir 18 Einheiten in Richtung $\vec{v}$ gehen können, müssen wir den Vektor zunächst auf die Länge $1$ normieren.
Betrag des Vektors berechnen
$$ \begin{align*} |\vec{v}| &= \sqrt{7^2 + 4^2 + 4^2} \\[5px] &= \sqrt{49 + 16 + 16} \\[5px] &= 9 \end{align*} $$
Gesuchten Punkt berechnen
$$ \begin{align*} \vec{P_2} &= \vec{P_1} + 18 \cdot \vec{v}^0 \\[5px] &= \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + 18 \cdot \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \\[5px] &= \begin{pmatrix} 15 \\ 11 \\ 6 \end{pmatrix} \end{align*} $$
Wir landen bei $Z(15|11|6)$.
