Ereignis & Ereignisraum

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Ereignis, dem Ereignisraum und der Mächtigkeit des Ereignisraums eines Zufallsexperiments.

Wiederholung: Zufallsexperiment, Ergebnis und Ergebnisraum

  • Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.
    Beispiel: Werfen eines Würfels
  • Der Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis \(\omega\) („Klein-Omega“).
    Beispiel (Würfelwurf): \(\omega_1 = 1\), \(\omega_2 = 2\), \(\omega_3 = 3\), \(\omega_4 = 4\), \(\omega_5 = 5\), \(\omega_6 = 6\)
  • Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum \(\Omega\) („Groß-Omega“).
    Beispiel (Würfelwurf): \(\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5,\omega_6\} = \{1,2,3,4,5,6\}\)

Problemstellung

Meist interessieren wir uns bei einem Zufallsexperiment nicht für das Eintreten eines einzelnen Ergebnisses, sondern ob das Ergebnis zu einer bestimmten Menge von Ergebnissen gehört.

Beispiel 1: „Wer eine gerade Zahl würfelt, gewinnt“

Wir betrachten die Mengen \(\{2, 4, 6\}\) („Gerade Zahl“) und \(\{1, 3, 5\}\) („Ungerade Zahl“).

Beispiel 2: „Wer eine 6 würfelt, gewinnt“

Wir betrachten die Mengen \(\{6\}\) („6“) und \(\{1,2,3,4,5\}\) („Nicht-6“).

Jede Teilmenge \(E\) des Ergebnisraums \(\Omega\) heißt Ereignis.

Bezeichnung

Ereignisse werden mit großen Buchstaben \(A, B, C, \dots\) (oder: \(A_1, A_2, A_3,\dots\)) bezeichnet.

Schreibweise

Ereignisse können verbal beschrieben werden oder durch Aufzählung ihrer Ergebnisse.

Beispiele für Zufallsexperimente und ihre Ereignisse

Beispiel: Werfen eines Würfels

\(\begin{align*}
&A\colon \text{„Gerade Augenzahl“} && \Rightarrow \quad A = \{2, 4, 6\}\\[5pt]
&B\colon \text{„Ungerade Augenzahl“} && \Rightarrow \quad B = \{1, 3, 5\}\\[5pt]
&C\colon \text{„Augenzahl gleich 6“} && \Rightarrow \quad C = \{6\}\\[5pt]
&D\colon \text{„Augenzahl ungleich 6“} && \Rightarrow \quad D = \{1, 2, 3, 4, 5\}\\[5pt]
&E\colon \text{„Augenzahl kleiner als 7“} && \Rightarrow \quad E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\\[5pt]
&F\colon \text{„Augenzahl größer als 6“} && \Rightarrow \quad F = \{\}
\end{align*}\)

Wir sagen:

Ein Ereignis \(E\) tritt ein, wenn das Ergebnis \(\omega\) ein Element von \(E\) ist.

Beispiel (Fortsetzung)

Wir würfeln und erhalten als Ergebnis die Augenzahl 4, d. h. \(\omega = 4\).

Das Ereignis \(A = \{2, 4, 6\}\) ist eingetreten wegen \(\omega \in A\).

Das Ereignis \(B = \{1, 3, 5\}\) ist nicht eingetreten wegen \(\omega \notin B\).

Besondere Ereignisse

Ereignisse lassen sich nach der Anzahl ihrer Elemente voneinander unterscheiden:

  • Das Ereignis, das kein Element enthält, heißt unmögliches Ereignis.
    Beispiel (Fortsetzung): \(F = \text{„Augenzahl größer als 6“} = \{\,\}\)
    Das unmögliche Ereignis tritt bei der Durchführung eines Zufallsexperiments nie ein!

  • Ein Ereignis, das genau ein Element enthält, heißt Elementarereignis.
    Beispiel (Fortsetzung): \(C = \text{„Augenzahl gleich 6“} = \{6\}\)

  • Ein Ereignis, das mehr als ein Element enthält, heißt zusammengesetztes Ereignis.
    Beispiel (Fortsetzung): \(A = \text{„Gerade Augenzahl“} = \{2, 4, 6\}\)

    Das bekannteste zusammengesetzte Ereignis ist das sichere Ereignis:

    Das Ereignis, das alle Elemente von \(\Omega\) enthält, heißt sicheres Ereignis.
    Beispiel (Fortsetzung): \(E = \text{„Augenzahl kleiner als 7“} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
    Das sichere Ereignis tritt bei der Durchführung eines Zufallsexperiments immer ein!

Ereignisraum

Im Folgenden schauen wir uns an, was der Ereignisraum ist.

Problemstellung

Wir wollen alle möglichen Ereignisse, d. h. Teilmengen von \(\Omega\), in einer Menge zusammenfassen.

[Für endliche Ergebnisräume gilt:]

Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum \(\mathcal{P}(\Omega)\).

\(\mathcal{P}(\Omega)\) bezeichnet die Potenzmenge von \(\Omega\), d. h. die Menge aller Teilmengen von \(\Omega\).

Das unmögliche Ereignis und das sichere Ereignis gehören stets zum Ereignisraum!

Beispiel 1: Würfen einer Münze

\(\mathcal{P}(\Omega) = \{\{\,\},\{\text{K}\},\{\text{Z}\},\{\text{K},\text{Z}\}\}\)

Der Ereignisraum des Zufallsexperiments setzt sich zusammen aus...
> dem unmöglichen Ereignis: \(E_1 = \{\,\}\)
> den beiden Elementarereignissen: \(E_2 = \{\text{K}\}\) (Kopf) und \(E_3 = \{\text{Z}\}\) (Zahl)
> dem sicheren Ereignis: \(E_ 4 = \Omega = \{\text{K},\text{Z}\}\)

Beispiel 2: Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit drei Kugeln*
* Die Kugeln sind mit den Buchstaben a, b und c gekennzeichnet.

\(\mathcal{P}(\Omega) = \{\{\}, \{\text{a}\}, \{\text{b}\}, \{\text{c}\}, \{\text{a}, \text{b}\}, \{\text{a}, \text{c}\}, \{\text{b}, \text{c}\}, \{\text{a}, \text{b}, \text{c}\}\}\)

Der Ereignisraum des Zufallsexperiments setzt sich zusammen aus...
> dem unmöglichen Ereignis: \(E_1 = \{\,\}\)
> den drei Elementarereignisse: \(E_2 =\{\text{a}\}\), \(E_3 =\{\text{b}\}\) und \(E_4 =\{\text{c}\}\)
> den (mehrelementigen) Teilmengen von \(\Omega\): \(E_5 =\{\text{a}, \text{b}\}\), \(E_6 =\{\text{a}, \text{c}\}\), \(E_7 =\{\text{b}, \text{c}\}\)
> dem sicheren Ereignis: \(E_8 = \Omega = \{\text{a}, \text{b}, \text{c}\}\)

Mächtigkeit des Ereignisraums

Im Folgenden schauen wir uns an, was die Mächtigkeit des Ereignisraums ist.

Problemstellung

Wir wollen die Anzahl der möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments bestimmen.

Die Anzahl aller möglichen Ereignisse heißt
Mächtigkeit des Ereignisraums \(|\mathcal{P}(\Omega)|\).

Der Begriff „Mächtigkeit“ stammt aus der Mengenlehre (siehe Mächtigkeit einer Menge).
Die Mächtigkeit des Ereignisraums gibt an, wie viele Elemente in der Menge \(\mathcal{P}(\Omega)\) liegen.

Mächtigkeit des Ereignisraums berechnen

Der Ereignisraum besteht aus \(2^{|\Omega|}\) Ereignissen.

Dabei ist \(|\Omega|\) die Mächtigkeit des Ergebnisraums, also die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

Beispiel 1: Werfen einer Münze

Ergebnisraum: \(\Omega = \{\text{Z}, \text{K}\}\)
Mächtigkeit des Ergebnisraum: \(|\Omega| = {\color{red}2}\)
Ereignisraum: \(\mathcal{P}(\Omega) = \{\{\},\{\text{K}\}, \{\text{Z}\}, \{\text{K}, \text{Z}\}\}\)
Mächtigkeit des Ereignisraum: \(|\mathcal{P}(\Omega)| = 2^{|\Omega|} = 2^{\color{red}2} = 4\)

Beispiel 2: Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit drei Kugeln*
* Die Kugeln sind mit den Buchstaben a, b und c gekennzeichnet.

Ergebnisraum: \(\Omega = \{\text{a}, \text{b}, \text{c}\}\)
Mächtigkeit des Ergebnisraum: \(|\Omega| = {\color{red}3}\)
Ereignisraum: \(\mathcal{P}(\Omega) = \{\{\}, \{\text{a}\}, \{\text{b}\}, \{\text{c}\}, \{\text{a}, \text{b}\}, \{\text{a}, \text{c}\}, \{\text{b}, \text{c}\}, \{\text{a}, \text{b}, \text{c}\}\}\)
Mächtigkeit des Ereignisraum: \(|\mathcal{P}(\Omega)| = 2^{|\Omega|} = 2^{\color{red}3} = 8\)

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung baut auf folgenden Grundbegriffen auf:

  Bezeichnung Beispiel
Zufallsexperiment   Werfen eines Würfels
Ergebnis \(\omega\) („Klein-Omega“) Augenzahl 4 \(\Rightarrow \omega = 4\)
Ergebnisraum \(\Omega\) („Groß-Omega“) \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
Ereignis ein lat. Großbuchstabe
(z. B. \(A, B, C\dots\))
\(E\colon \text{„Augenzahl kleiner 4“}\)
\(\Rightarrow E = \{1, 2, 3\}\)
Ereignisraum \(\mathcal{P}(\Omega)\) \(\mathcal{P}(\Omega) = \{\{\,\}, \{1\},\dots,\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}\)

PS: Wir empfehlen euch, die Mengenlehre noch einmal zu wiederholen!

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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