Ergebnis & Ergebnisraum

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Ergebnis, dem Ergebnisraum (Synonym: Ergebnismenge) und der Mächtigkeit des Ergebnisraums eines Zufallsexperiments.

Wiederholung: Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang.

Der Ausgang eines Zufallsexperiments heißt Ergebnis \(\omega\).

Schreib- und Sprechweise

Ergebnisse werden mit dem griechischen Buchstaben \(\omega\) („Klein-Omega“) bezeichnet.

Beispiele von Zufallsexperimenten und ihren Ergebnissen

  • Werfen einer Münze
    (mögliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl)

  • Werfen eines Würfels
    (mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6)

  • Ziehen einer Kugel aus einer Urne
    (mögliche Ergebnisse: die Farben der Kugeln oder die aufgedruckten Zahlen)

  • Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel
    (mögliche Ergebnisse: Bube, Dame, König, Ass sowie die Zahlen 2 bis 10)

  • Drehen eines Glücksrads
    (mögliche Ergebnisse: die Sektoren auf der Scheibe des Glückrads)

  • Roulette
    (mögliche Ergebnisse: die Zahlen 0 bis 36)

  • Lotto
    (mögliche Ergebnisse: die Zahlen 1 bis 49)

Ergebnisraum

Im Folgenden schauen wir uns an, was der Ergebnisraum ist.

Problemstellung

Wir wollen alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments in einer Menge zusammen.

Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum \(\Omega\).

Schreib- und Sprechweise

Ergebnisräume werden mit dem griechischen Buchstaben \(\Omega\) („Groß-Omega“) bezeichnet.

Beispiele von Zufallsexperimenten und ihren Ergebnisräumen

Beispiel 1: Werfen einer Münze

Mögliche Ergebnisse:

\(\omega_1 = \text{Z} \qquad \text{(Zahl)}\)

\(\omega_2 = \text{K} \qquad \text{(Kopf)}\)

Ergebnisraum:

\(\Omega = \{\omega_1, \omega_2\} = \{\text{Z},\text{K}\}\)

Der Ergebnisraum \(\Omega\) kann je nach Bedarf unterschiedlich angegeben werden.

Beispiel 2: Werfen eines Würfels

  1. Frage nach der Augenzahl
    \(\Omega_1 = \{1,2,3,4,5,6\}\)
  2. Frage, ob Augenzahl gerade (\(\text{g}\)) oder ungerade (\(\text{u}\))
    \(\Omega_2 = \{\text{g},\text{u}\}\)
  3. Frage, ob 6 (= Treffer) oder Nicht-6 (= Niete) geworfen wird
    \(\Omega_3 = \{\text{T},\text{N}\}\)

Mächtigkeit des Ergebnisraums

Im Folgenden schauen wir uns an, was die Mächtigkeit des Ergebnisraums ist.

Problemstellung

Wir wollen die Anzahl der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments bestimmen.

Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse heißt
Mächtigkeit des Ergebnisraums \(|\Omega|\).

Der Begriff „Mächtigkeit“ stammt aus der Mengenlehre (siehe Mächtigkeit einer Menge).
Die Mächtigkeit des Ergebnisraums gibt an, wie viele Elemente in der Menge \(\Omega\) liegen.

Beispiele von Ergebnisräumen und ihren Mächtigkeiten

Beispiel 1: Werfen einer Münze

\(\Omega = \{\text{Z}, \text{K}\} \quad \Rightarrow \quad |\Omega| = 2\)

Im Ergebnisraum sind 2 Elemente, d. h. der Ergebnisraum hat die Mächtigkeit 2.

Beispiel 2: Werfen eines Würfels

\(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\} \quad \Rightarrow \quad |\Omega| = 6\)

Im Ergebnisraum sind 6 Elemente, d. h. der Ergebnisraum hat die Mächtigkeit 6.

Arten von Ergebnisräumen

Ergebnisräume lassen nach der Anzahl ihrer Elemente in drei Arten unterteilen.

Endlicher Ergebnisraum

(a) Die Elemente des Ergebnisraums können abgezählt werden.
(b) Es lässt sich eine Obergrenze angeben.

Beispiel 1: Werfen einer Münze

\(\Omega = \{\text{K}, \text{Z}\}\)

Beispiel 2: Erreichte Punktzahl* einer Klausur
*nur ganze Punkte werden vergeben (Maximalpunktzahl: 90)

\(\Omega = \{1, 2, 3,\dots, 90\}\)

Abzählbar-unendlicher Ergebnisraum

(a) Die Elemente des Ergebnisraums können abgezählt werden.
(b) Es lässt sich keine Obergrenze angeben.

Beispiel 1: Werfen einer Münze bis „Zahl“ kommt

\(\Omega = \{\text{Z}, \text{KZ}, \text{KKZ},\dots\}\)

Beispiel 2: Eingangene Bestellungen in einer Pizzeria in einem Monat

\(\Omega = \{1, 2, 3,\dots\}\)

Überabzählbar-unendlicher Ergebnisraum

Die Elemente des Ergebnisraums können nicht abgezählt werden.

Beispiel: Messung der Wartezeit \(t\) eines Kunden an einer Supermarktkasse

\(\Omega = \{t \,|\, 0 \leq t \leq T\}\)

\(T\) = Öffnungdauer der Kasse

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung baut auf folgenden Grundbegriffen auf:

  Bezeichnung Beispiel
Zufallsexperiment   Werfen eines Würfels
Ergebnis \(\omega\) („Klein-Omega“) Augenzahl 4 \(\Rightarrow \omega = 4\)
Ergebnisraum \(\Omega\) („Groß-Omega“) \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
Ereignis ein lat. Großbuchstabe
(z. B. \(A, B, C\dots\))
\(E\colon \text{„Augenzahl kleiner 4“}\)
\(\Rightarrow E = \{1, 2, 3\}\)
Ereignisraum \(\mathcal{P}(\Omega)\) \(\mathcal{P}(\Omega) = \{\{\,\}, \{1\},\dots,\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}\)

PS: Wir empfehlen euch, die Mengenlehre noch einmal zu wiederholen!

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!