Erweiterungszahl

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Erweiterungszahl ist.

Notwendiges Vorwissen: Brüche erweitern

Die Zahl, mit der man Zähler und Nenner beim Erweitern multipliziert,
heißt Erweiterungszahl.

Im Zusammenhang mit der Erweiterungszahl gibt es folgende vier Aufgabentypen:

a) Bruch erweitern mit gegebener Erweiterungszahl

Erweitere \(\frac{2}{3}\) mit 3.

Lösung

Zähler und Nenner mit der Erweiterungszahl multiplizieren

\[\frac{2 \cdot {\color{red}3}}{3 \cdot {\color{red}3}} = \frac{6}{9}\]

b) Erweiterungszahl berechnen

Der Bruch \(\frac{1}{4}\) wurde auf den Bruch \(\frac{2}{8}\) erweitert.
Mit welcher Erweiterungszahl wurde der Bruch erweitert?

Lösung

Vorgehensweise 1: Großen Zähler durch kleinen Zähler dividieren

\(2:1 = {\color{red}2}\)

Vorgehensweise 2: Großen Nenner durch kleinen Nenner dividieren

\(8:4 = {\color{red}2}\)

c) Zähler des erweiterten Bruchs bestimmen

\[\frac{5}{9} = \frac{?}{27}\]

Lösung

1.) Großen Nenner durch kleinen Nenner dividieren (= Erweiterungszahl)

\(27:9 = {\color{red}3}\)

2.) Gegebenen Zähler mit Erweiterungszahl multiplizieren (= gesuchter Zähler)

\(5 \cdot {\color{red}3} = 15\)

\(\Rightarrow \frac{5}{9} = \frac{15}{27}\)

d) Nenner des erweiterten Bruchs bestimmen

\[\frac{7}{9} = \frac{14}{?}\]

Lösung

1.) Großen Zähler durch kleinen Zähler dividieren (= Erweiterungszahl)

\(14:7 = {\color{red}2}\)

2.) Gegebenen Nenner mit Erweiterungszahl multiplizieren (= gesuchter Nenner)

\(9 \cdot {\color{red}2} = 18\)

\(\Rightarrow \frac{7}{9} = \frac{14}{18}\)

Im Zusammenhang mit Bruchtermen (Brüche, die Variablen enthalten) spricht man statt von einer Erweiterungszahl von einem Erweiterungsfaktor. Die Berechnungen sind aber identisch.

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Leseprobe: Bruchrechnung - Erklärungen, Aufgaben, Lösungen

Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!