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Faktorisieren

In diesem Kapitel besprechen wir das Faktorisieren.
(Alternative Bezeichnungen: Faktorisierung, Faktorzerlegung)

Wahrscheinlich hast du schon einmal etwas von der Primfaktorzerlegung gehört, mit deren Hilfe man natürliche Zahlen in Faktoren zerlegen kann. Auch Terme lassen sich faktorisieren.

Beim Faktorisieren wird ein Term,
der eine Summe oder Differenz ist,
in ein Produkt verwandelt.

Faktorisieren durch Ausklammern

Notwendiges Vorwissen: Ausklammern

a) Einmaliges Ausklammern

Einmaliges Ausklammern ist immer dann möglich, wenn sich aus allen Gliedern einer Summe oder Differenz ein gemeinsamer Faktor ausklammern lässt.

Beispiel 1 - Ausklammern einer Zahl

\({\color{red}7}a + {\color{red}7}b = {\color{red}7}(a + b)\)

Beispiel 2 - Ausklammern einer Variablen

\(5{\color{red}a}b - 3{\color{red}a} = {\color{red}a}(5b - 3)\)

Beispiel 3 - Gleichzeitiges Ausklammern von Zahlen und Variablen

\({\color{red}4ab}c + {\color{red}4ab}d = {\color{red}4ab}(c+d)\)

Wenn größere Zahlen im Term vorkommen, zerlegt man diese meist in Primfaktoren.
Nach der Primfaktorzerlegung lassen sich gemeinsame Faktoren einfacher erkennen.

Beispiel

\(30x - 42y = {\color{red}2} \cdot {\color{red}3} \cdot 5 \cdot x - {\color{red}2} \cdot {\color{red}3} \cdot 7 \cdot y = {\color{red}6}(5x - 7y)\)

b) Mehrmaliges Ausklammern

Manchmal ist auch ein mehrmaliges Ausklammern möglich. Voraussetzung dafür ist, dass sich ein gemeinsamer Faktor aus einer Gruppe von zwei oder mehreren Gliedern ausklammern lässt. Im Anschluss daran kann in einigen Fällen noch einmal ausgeklammert werden.

Beispiel

Gegeben ist der Term \(3ax - 6x + 4a - 8\).

1. Ausklammern

\(\underbrace{{\color{red}3} \cdot a \cdot {\color{red}x} - 2 \cdot {\color{red}3} \cdot {\color{red}x}}_{\text{1. Gruppe}} + \underbrace{{\color{red}2} \cdot {\color{red}2} \cdot a - {\color{red}2} \cdot {\color{red}2} \cdot 2}_{\text{2. Gruppe}} = {\color{red}3x}(a-2) + {\color{red}4}(a-2)\)

Aus der 1. Gruppe lässt sich \({\color{red}3x}\) ausklammern.
Aus der 2. Gruppe lässt sich \({\color{red}4}\) ausklammern.

2. Ausklammern

\(\underbrace{3x{\color{red}(a-2)}}_{\text{1. Glied}} + \underbrace{4{\color{red}(a-2)}}_{\text{2. Glied}} = {\color{red}(a-2)}(3x+4)\)

\({\color{red}(a-2)}\) kommt sowohl im 1. Glied als auch im 2. Glied vor.

Faktorisieren durch binomische Formeln

1. Binomische Formel

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)

1.) Basen der beiden Quadrate berechnen
2.) Prüfen, ob das mittlere Glied das doppelte Produkt der Basen ist
3.) Quadrat aus der Summe der Basen bilden

\(\begin{array}{ccccccc}
a^2 & + & {\color{green}2ab} & + & b^2 & = & ({\color{red}a}+{\color{red}b})^2\\
\downarrow&&{\color{green}\downarrow}&&\downarrow&&\\
\text{Quadrat}&&{\color{green}\text{doppeltes Produkt}}&&\text{Quadrat}&&\\
\text{(Basis \({\color{red}a}\))}&&{\color{green}\text{der beiden Basen}}&&\text{(Basis \({\color{red}b}\))}&&\\
&&{\color{green}2 \cdot (a \cdot b)}&&&&\\ {\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}\\
{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}}&&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 3}}
\end{array}\)

Beispiel

Gegeben ist der Term \(x^2 + 10x + 25\).
Wandle den Term in ein Produkt um!

\(\begin{array}{ccccccc}
x^2 & + & {\color{green}10x} & + & 25 & = & ({\color{red}x}+{\color{red}5})^2\\
\downarrow&&{\color{green}\downarrow}&&\downarrow&&\\
\text{Quadrat}&&{\color{green}\text{doppeltes Produkt}}&&\text{Quadrat}&&\\
\text{(Basis \({\color{red}x}\))}&&{\color{green}\text{der beiden Basen}}&&\text{(Basis \({\color{red}5}\))}&&\\
&&{\color{green}2 \cdot (x \cdot 5) = 10x}&&&&
\end{array}\)

Wenn der mittlere Term nicht dem doppelten Produkt der beiden Basen entspricht, kann nicht mit Hilfe der 1. Binomischen Formel faktorisiert werden. (\(\rightarrow\) Beispiel: 1. Binomische Formel)

2. Binomische Formel

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)

1.) Basen der beiden Quadrate berechnen
2.) Prüfen, ob das mittlere Glied das doppelte Produkt der Basen ist
3.) Quadrat aus der Differenz der Basen bilden

\(\begin{array}{ccccccc}
a^2 & - & {\color{green}2ab} & + & b^2 & = & ({\color{red}a}-{\color{red}b})^2\\
\downarrow&&{\color{green}\downarrow}&&\downarrow&&\\
\text{Quadrat}&&{\color{green}\text{doppeltes Produkt}}&&\text{Quadrat}&&\\
\text{(Basis \({\color{red}a}\))}&&{\color{green}\text{der beiden Basen}}&&\text{(Basis \({\color{red}b}\))}&&\\
&&{\color{green}2 \cdot (a \cdot b)}&&&&\\ {\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}\\
{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}}&&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 3}}
\end{array}\)

Beispiel

Gegeben ist der Term \(x^2 - 10x + 25\).
Wandle den Term in ein Produkt um!

\(\begin{array}{ccccccc}
x^2 & - & {\color{green}10x} & + & 25 & = & ({\color{red}x}-{\color{red}5})^2\\
\downarrow&&{\color{green}\downarrow}&&\downarrow&&\\
\text{Quadrat}&&{\color{green}\text{doppeltes Produkt}}&&\text{Quadrat}&&\\
\text{(Basis \({\color{red}x}\))}&&{\color{green}\text{der beiden Basen}}&&\text{(Basis \({\color{red}5}\))}&&\\
&&{\color{green}2 \cdot (x \cdot 5) = 10x}&&&&
\end{array}\)

Wenn der mittlere Term nicht dem doppelten Produkt der beiden Basen entspricht, kann nicht mit Hilfe der 2. Binomischen Formel faktorisiert werden. (\(\rightarrow\) Beispiel: 2. Binomische Formel)

3. Binomische Formel

\(a^2 - b^2 = (a+b) \cdot (a-b)\)

1.) Basen der beiden Quadrate berechnen
2.) Produkt aus Summe und Differenz der Basen bilden

\(\begin{array}{ccccc}
a^2 & - & b^2 & = & ({\color{red}a}+{\color{red}b}) \cdot ({\color{red}a}-{\color{red}b})\\
\downarrow&&\downarrow&&\\
\text{Quadrat}&&\text{Quadrat}&&\\
\text{(Basis \({\color{red}a}\))}&&\text{(Basis \({\color{red}b}\))}&&\\
&&&&\\
{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}\\
{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}}
\end{array}\)

Beispiel

Gegeben ist der Term \(x^2 - 25\).
Wandle den Term in ein Produkt um!

\(\begin{array}{ccccc}
x^2 & - & 25 & = & ({\color{red}x}+{\color{red}5}) \cdot ({\color{red}x}-{\color{red}5})\\
\downarrow&&\downarrow&&\\
\text{Quadrat}&&\text{Quadrat}&&\\
\text{(Basis \({\color{red}x}\))}&&\text{(Basis \({\color{red}5}\))}&&
\end{array}\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!