Fläche zwischen Graph und x-Achse
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der $\boldsymbol{x}$-Achse mithilfe von Integralen berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein bestimmtes Integral?
- Flächenberechnung mit Integralen
Einordnung
Im vorherigen Kapitel haben wir festgestellt, dass der Wert des Integrals lediglich dann der Fläche zwischen Graph und $x$-Achse entspricht, wenn in dem betrachteten Intervall der Graph entweder nur ober- oder nur unterhalb der $x$-Achse liegt.
$$ \int_1^3 \! 2x \, \textrm{d}x = \left[x^2\right]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 8 $$
In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x) = 2x$ eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei $1$, die obere Integrationsgrenze bei $3$.
$$ \int_1^3 \! 2x \, \textrm{d}x = 8 $$
entspricht der Fläche zwischen Graph und $x$-Achse im Intervall $[1;3]$.
$$ \int_{-2}^2 \! 2x \, \textrm{d}x = \left[x^2\right]_{-2}^2 = 2^2 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0 $$
In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x) = 2x$ eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei $-2$, die obere Integrationsgrenze bei $2$.
Das bestimmte Integral
$$ \int_{-2}^2 \! 2x \, \textrm{d}x = 0 $$
entspricht nicht der Fläche zwischen Graph und $x$-Achse im Intervall $[-2;2]$.
Wir merken uns:
Das Integral ist nur eine Flächenbilanz, d. h. die Flächen heben sich auf
, wenn ein Teil des Graphen im betrachteten Intervall oberhalb und der andere Teil unterhalb der $x$-Achse liegt.
Anleitung
Um die Fläche zwischen dem Graphen einer beliebigen Funktion und der $x$-Achse zu berechnen, müssen wir folgendermaßen vorgehen:
Nullstellen der Funktion berechnen
Überprüfen, welche Nullstellen im betrachteten Intervall liegen
Überprüfen, ob der Graph an der jeweiligen Nullstelle sein Vorzeichen wechselt
Abschnittsweise integrieren
zu 3)
Um zu überprüfen, ob der Graph an der jeweiligen Nullstelle sein Vorzeichen wechselt, eignet sich besonders die Betrachtung der Vielfachheit der Nullstelle. Sie gibt an, wie oft eine bestimmte Nullstelle bei einer Funktion vorkommt. Dabei gilt: An Nullstellen mit ungerader Vielfachheit tritt ein Vorzeichenwechsel auf. An Nullstellen mit gerader Vielfachheit tritt kein Vorzeichenwechsel auf.
Alternativ kannst du natürlich auch einen Wert links bzw. rechts von der Nullstelle in die Funktion einsetzen, um herauszufinden, ob beide Funktionswerte das gleiche Vorzeichen besitzen.
zu 4)
Ohne Vorzeichenwechsel
Wenn der Graph an keiner (!) Nullstelle sein Vorzeichen wechselt – der Graph folglich nur oberhalb oder nur unterhalb der $x$-Achse verläuft, entspricht das gegebene Integral der Fläche zwischen Graph und $x$-Achse.
Mit Vorzeichenwechsel
Wenn der Graph jedoch sein Vorzeichen wechselt, müssen wir abschnittsweise integrieren. Das bedeutet, dass wir die Flächen, die sich oberhalb der $x$-Achse befinden, und die Flächen, die sich unterhalb der $x$-Achse befinden, getrennt voneinander berechnen.
Die Integrale der einzelnen Abschnitte ergeben sich aus dem Zusammenspiel der gegebenen Integrationsgrenzen mit den Nullstellen und dem im 3. Schritt berechneten Verlauf des Graphen. Dabei definiert jede Nullstelle mit Vorzeichenwechsel einen neuen Abschnitt.
Die einzelnen Flächen werden anschließend betragsmäßig addiert. Das Setzen von Beträgen ist an dieser Stelle sehr wichtig, um zu verhindern, dass wir mit negativen Flächen rechnen. So etwas wie negative Flächen
gibt es nämlich nicht!
Beispiel
Berechne die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f(x) = 2x$ im Intervall $[-2; 2]$.
Nullstellen der Funktion berechnen
Die Funktion $f(x) = 2x$ hat bei $x = 0$ eine Nullstelle.
Überprüfen, welche Nullstellen im betrachteten Intervall liegen
Die Nullstelle liegt im betrachteten Intervall $[-2;2]$.
Überprüfen, ob der Graph an der jeweiligen Nullstelle sein Vorzeichen wechselt
Da es sich um eine einfache Nullstelle handelt, wechselt der Graph bei $x = 0$ sein Vorzeichen.
Abschnittsweise integrieren
Wir integrieren abschnittsweise, d. h. wir berechnen die Flächen oberhalb bzw. unterhalb der $x$-Achse getrennt voneinander:
- Das 1. Integral geht von der gegebenen unteren Integrationsgrenze
$-2$bis zur berechneten Nullstelle$0$. - Das 2. Integral geht von der berechneten Nullstelle
$0$bis zur gegebenen oberen Integrationsgrenze$2$.
Die einzelnen Fläche werden betragsmäßig addiert.
$$ \begin{align*} \left|\int_{-2}^{0} \! 2x \, \textrm{d}x\right| + \left|\int_{0}^{2} \! 2x \, \textrm{d}x\right| &= \left|\left[x^2\right]_{-2}^{0}\right| + \left|\left[x^2\right]_{0}^{2}\right| \\[5px] &= \left|0^2 - (-2)^2\right| + \left|2^2 - 0^2\right| \\[5px] &= \left|- 4\right| + \left|4\right| \\[5px] &= 8\end{align*} $$
In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x) = 2x$ eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei $-2$, die obere Integrationsgrenze bei $2$.
$$ \left|\int_{-2}^{0} \! 2x \, \textrm{d}x\right| + \left|\int_{0}^{2} \! 2x \, \textrm{d}x\right| = 8 $$
entsprechen der Fläche zwischen Graph und $x$-Achse im Intervall $[-2;2]$.
