Mathebibel.de / Erklärungen / Analysis / Integralrechnung / Fläche zwischen Graph und x-Achse

Fläche zwischen Graph und x-Achse

In diesem Artikel besprechen wir, wie man die Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse mit Hilfe von Integralen berechnet.

Wiederholung

In den vorhergehenden Kapiteln haben wir gelernt, wie man bestimmte Integrale berechnet und wie man mit diesen einfache Flächenberechnungen durchführt.

Außerdem wissen wir bereits, dass das Integral der Fläche zwischen Graph und x-Achse entspricht, solange der Graph im betrachteten Intervall entweder nur ober- oder nur unterhalb der x-Achse verläuft.

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

Funktion ohne Vorzeichenwechsel im betrachteten Intervall

\[\int_1^3 \! 2x \, \mathrm{d}x = \left[x^2\right]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 8\]

In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x) = 2x\) eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei 1, die obere Integrationsgrenze bei 3.

Das bestimmte Integral
\[\int_1^3 \! 2x \, \mathrm{d}x = 8\] entspricht der Fläche zwischen Graph und x-Achse im Intervall \([1;3]\).

Da der Graph der Funktion im betrachteten Intervall \([1;3]\) nur oberhalb der x-Achse verläuft (= kein Vorzeichenwechsel), entspricht das Integral der Fläche zwischen Graph und x-Achse.

Anders sieht es in folgendem Beispiel aus. Dabei untersuchen wir dieselbe Funktion, betrachten jedoch ein anderes Intervall.

Funktion mit Vorzeichenwechsel im betrachteten Intervall

\[\int_{-2}^2 \! 2x \, \mathrm{d}x = \left[x^2\right]_{-2}^2 = 2^2 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0\]

In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x) = 2x\) eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei -2, die obere Integrationsgrenze bei 2.

Das bestimmte Integral
\[\int_{-2}^2 \! 2x \, \mathrm{d}x = 0\] entspricht nicht der Fläche zwischen Graph und x-Achse im Intervall \([-2;2]\).

Warum ist das so? Das Integral ist nur eine Flächenbilanz, d.h. die Flächen "heben sich auf", wenn ein Teil des Graphen (im betrachteten Intervall) oberhalb und der andere Teil unterhalb der x-Achse liegt.

Lösung des Problems

Will man von einer beliebigen Funktion die Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnen, so muss man folgende Schritte durchführen:

  1. Nullstellen der Funktion berechnen
  2. Überprüfen, welche Nullstellen im betrachteten Intervall liegen
  3. Überprüfen, ob der Graph an der jeweiligen Nullstelle sein Vorzeichen wechselt
  4. Abschnittsweise integrieren
    --> jede Nullstelle mit Vorzeichenwechsel definiert einen neuen Abschnitt
    --> addiere die einzelnen Flächen betragsmäßig (es gibt keine negativen Flächen!!!)

zu 3.)

Um zu überprüfen, ob der Graph an der jeweiligen Nullstelle sein Vorzeichen wechselt, eignet sich besonders die Betrachtung der Vielfachheit der Nullstelle. Sie gibt an, wie oft eine bestimmte Nullstelle bei einer Funktion vorkommt. Dabei gilt: An Nullstellen mit ungerader Vielfachheit tritt ein Vorzeichenwechsel auf. An Nullstellen mit gerader Vielfachheit tritt kein Vorzeichenwechsel auf.
Alternativ kannst du natürlich auch einen Wert links bzw. rechts von der Nullstelle in die Funktion einsetzen, um herauszufinden, ob beide Funktionswerte das gleiche Vorzeichen besitzen.

Zu 4.)

Wenn der Graph an keiner (!) Nullstelle sein Vorzeichen wechselt - der Graph folglich nur oberhalb oder nur unterhalb der x-Achse verläuft-, entspricht das (gegebene) Integral der Fläche zwischen Graph und x-Achse (siehe dazu das erste Beispiel oben).
Wenn der Graph jedoch sein Vorzeichen wechselt, müssen wir abschnittsweise integrieren. Das bedeutet, dass wir die Flächen, die sich oberhalb der x-Achse befinden, und die Flächen, die sich unterhalb der x-Achse befinden, getrennt voneinander berechnen. Die Integrale der einzelnen Abschnitte ergeben sich aus dem Zusammenspiel der gegebenen Integrationsgrenzen mit den Nullstellen und dem im 3. Schritt berechneten Verlauf des Graphen (siehe dazu das folgende Beispiel). Die einzelnen Flächen werden anschließend betragsmäßig addiert. Das Setzen von Beträgen ist an dieser Stelle sehr wichtig, um zu verhindern, dass du mit negativen Flächen rechnest. So etwas wie "negative Flächen" gibt es nicht!

Zurück zu unserem Beispiel:

  1. Die Funktion \(f(x) = 2x\) hat bei \(x = 0\) eine Nullstelle.
  2. Die Nullstelle liegt im betrachteten Intervall \([-2;2]\).
  3. Da es sich um eine einfache Nullstelle handelt, wechselt der Graph bei \(x = 0\) sein Vorzeichen.
  4. Wir integrieren abschnittsweise, d.h. wir berechnen die Fläche oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse getrennt voneinander:

Das erste Integral geht von der (gegebenen) unteren Integrationsgrenze -2 bis zur berechneten Nullstelle 0. Das zweite Integral geht von der berechneten Nullstelle 0 bis zur (gegebenen) oberen Integrationsgrenze 2. Die einzelnen Fläche werden betragsmäßig addiert.

\[\begin{align*}
\left|\int_{-2}^{0} \! 2x \, \mathrm{d}x\right| + \left|\int_{0}^{2} \! 2x \, \mathrm{d}x\right| &= \left|\left[x^2\right]_{-2}^{0}\right| + \left|\left[x^2\right]_{0}^{2}\right|\\
&= \left|0^2 - (-2)^2\right| + \left|2^2 - 0^2\right|\\
&= \left|- 4\right| + \left|4\right|\\
&= 8\end{align*}\]

In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x) = 2x\) eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei -2, die obere Integrationsgrenze bei 2.

Die bestimmten Integrale
\[\left|\int_{-2}^{0} \! 2x \, \mathrm{d}x\right| + \left|\int_{0}^{2} \! 2x \, \mathrm{d}x\right| = 8\] entsprechen der Fläche zwischen Graph und x-Achse im Intervall \([-2;2]\).

Praxistipp: Setze die Integrale bei Flächenberechnungen immer in Betragsstriche! So bist du auf der sicheren Seite und es kann dir nicht passieren, dass du in der Prüfung wegen einer negativen Fläche (gibt es nicht!!!) einige Punkte abgezogen bekommst.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!