Fläche zwischen zwei Graphen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Fläche zwischen zwei Graphen mithilfe von Integralen berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
In der Abbildung sind die beiden sich schneidenen Graphen der Funktionen
$$ f(x) = x + 2 $$
und
$$ g(x) = x^2 + x + 1 $$
eingezeichnet.
Im Folgenden geht es um die Frage, wie groß die Fläche zwischen den beiden Graphen (rot umkreist) ist.
Anleitung
Die Formel zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen lautet:
$$ \left|\int_{s_1}^{s_2} \! \left[f(x)-g(x)\right] \, \textrm{d}x\right| $$
Dabei sind $s_1$ und $s_2$ die Schnittpunkte der beiden Graphen.
Schnittpunkte berechnen
Differenz der Funktionen berechnen
Integrieren
zu 1)
Die Schnittpunkte zweier Graphen berechnet man, indem man die Funktionsgleichungen gleichsetzt und die so entstandene Gleichung nach $x$ auflöst.
Wenn sich die beiden Graphen nicht schneiden, ist die Fläche zwischen ihnen gleich Null.
Beispiel
Berechne die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen $f(x) = x + 2$ und $g(x) = x^2 + x + 1$.
Schnittpunkte berechnen
$$ \begin{align*} x + 2 &= x^2 + x + 1 &&| \text{ Seiten vertauschen} \\[5px] x^2 + x + 1 &= x + 2 &&|\, -x-1 \\[5px] x^2 &= 1 \\[5px] x &= \pm \sqrt{1} \end{align*} $$
Die beiden Schnittpunkte sind dementsprechend $s_1 = -1$ und $s_2 = +1$.
Differenz der Funktionen berechnen
$$ \begin{align*} f(x) - g(x) &= x + 2 - (x^2 + x + 1) \\[5px] &= x + 2 - x^2 - x - 1 \\[5px] &= -x^2 + 1 \end{align*} $$
Integrieren
$$ \begin{align*}\left|\int_{s_1}^{s_2} \! \left[f(x)-g(x)\right] \, \textrm{d}x\right| &= \left|\int_{-1}^{1} \! \left(-x^2+1\right) \, \textrm{d}x\right| \\[5px] &= \left|\left[-\frac{1}{3}x^3 + x\right]_{-1}^{1}\right| \\[5px] &= \left|\left(-\frac{1}{3}1^3 + 1\right) - \left(-\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)\right)\right| \\[5px] &= \left|\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \right| \\[5px] &= \frac{4}{3} \end{align*} $$
Anmerkung
Die Betragsstriche wären in diesem Fall nicht nötig gewesen. Im Zusammenhang mit Flächenberechnungen ist es aber immer besser alles in Betragsstriche zu schreiben, um unnötige Vorzeichenfehler zu vermeiden. Vergiss nicht, dass eine Fläche nie negativ sein kann!
