Flächeninhalt:
Drachenviereck

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Drachenvierecks zu berechnen.

Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.

Notwendiges Vorwissen: Flächeninhalt eines Rechtecks

Drachenviereck: Herleitung der Flächenformel


Der Flächeninhalt eines Rechtecks
berechnet sich nach der Formel
\(A = a \cdot b\)   (Länge mal Breite)

Jedes Drachenviereck lässt sich zu einem Rechteck umformen.


Herleitung der Formel

Gegeben ist ein beliebiges Drachenviereck.

Die Diagonalen nennen wir \(e\) und \(f\).

Da \(e\) und \(f\) aufeinander senkrecht stehen,
wird das Drachenviereck durch die Diagonalen in vier rechtwinklige Dreiecke geteilt.

Wir schneiden die beiden Dreiecke \(1\) und \(2\) aus und bringen sie durch Verschieben und Drehen auf die neuen Positionen \(1^{\prime}\) und \(2^{\prime}\).

Wie groß ist das Rechteck, das aus den Dreiecken \(1^{\prime}\), \(4\), \(3\) und \(2^{\prime}\) gebildet wird?
Die Formel ist klar: „Länge mal Breite“.

Länge: \(e\)

Im Drachenviereck halbiert \(e\) die Diagonale \(f\).
Für die Breite gilt deshalb: \(\frac{1}{2}f\)

\(\Rightarrow A = e \cdot \frac{1}{2}f = \frac{1}{2}ef\)

Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks

\(A = \frac{1}{2}ef\)

Die beiden Diagonalen \(e\) und \(f\) sind Längen in jeweils derselben Maßeinheit.
Falls die Längen nicht in derselben Maßeinheit vorliegen, müssen wir umrechnen.

\(A\) steht für den Flächeninhalt.

Längeneinheiten Flächeneinheiten
\(\mathrm{mm}\) Millimeter \(\mathrm{mm}^2\) Quadratmillimeter
\(\mathrm{cm}\) Zentimeter \(\mathrm{cm}^2\) Quadratzentimeter
\(\mathrm{dm}\) Dezimeter \(\mathrm{dm}^2\) Quadratdezimeter
\(\mathrm{m}\) Meter \(\mathrm{m}^2\) Quadratmeter
\(\mathrm{km}\) Kilometer \(\mathrm{km}^2\) Quadratkilometer

Drachenviereck: Flächeninhalt berechnen

Die folgenden Beispiele sollen dich mit der Flächenformel für Drachenvierecke vertraut machen.
Achte besonders auf die Einheiten! Eine \(3~\mathrm{cm}\) große Fläche gibt es nicht!

Beispiel 1

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Drachenvierecks mit \(e = 3~\mathrm{cm}\) und \(f = 2~\mathrm{cm}\)?


Lösung zur Beispiel 1

\(\begin{align*} A &= \frac{1}{2} e f\\[5pt] &= \frac{1}{2} \cdot 3~\mathrm{cm} \cdot 2~\mathrm{cm}\\[5pt] &= (\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2) \cdot (\mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm})\\[5pt] &= 3~\mathrm{cm}^2 \end{align*}\)

Beispiel 2

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Drachenvierecks mit \(e = 7~\mathrm{m}\) und \(f = 5~\mathrm{m}\)?


Lösung zur Beispiel 2

\(\begin{align*} A &= \frac{1}{2} e f\\[5pt] &= \frac{1}{2} \cdot 7~\mathrm{m} \cdot 5~\mathrm{m}\\[5pt] &= (\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5) \cdot (\mathrm{m} \cdot \mathrm{m})\\[5pt] &= 17{,}5~\mathrm{m}^2 \end{align*}\)

Wusstest du schon, dass \(\mathrm{m}^2\) lediglich eine abkürzende Schreibweise für \(\mathrm{m} \cdot \mathrm{m}\) ist?
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!

Vierecke und deren Flächeninhalte

Alle geradlinig begrenzten Figuren lassen sich zu einem Rechteck umformen.

  Formel
Leicht  
Flächeninhalt: Rechteck \(A = a \cdot b\)   (Länge mal Breite)
Flächeninhalt: Quadrat \(A = a \cdot a\)   (Seitenlänge mal Seitenlänge)
Mittel  
Flächeninhalt: Parallelogramm \(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\)
Flächeninhalt: Raute \(A = a \cdot h_a = \frac{1}{2}ef\)
Flächeninhalt: Drachenviereck \(A = \frac{1}{2}ef\)
Flächeninhalt: Trapez
+ Gleichschenkliges Trapez
+ Rechtwinkliges Trapez
\(A = m \cdot h = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h\)
Schwer  
Flächeninhalt: Tangentenviereck \(A = r_i(a+c) = r_i(b+d)\)
Flächeninhalt: Sehnenviereck \(A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)
mit \(s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!