Flächeninhalt: Parallelogramm
In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen.
Ein Parallelogramm
ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Flächeninhalt
ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.
Erforderliches Vorwissen
Herleitung der Formeln
Der Flächeninhalt eines Rechtecks
berechnet sich nach der Formel
$A = a \cdot b$ (Länge mal Breite)
Jedes Parallelogramm lässt sich zu einem Rechteck umformen.
Herleitung der 1. Formel
Wir zeichnen die Höhe $h_a$ ein.
Anschließend verschieben wir das Dreieck, das durch $h_a$ gebildet wird,…
…auf die gegenüberliegende Seite.
Der Flächeninhalt des auf diese Weise gebildeten Rechtecks können wir mit der Formel Länge mal Breite
berechnen:
$A = a \cdot h_a$
…und weil das Rechteck flächengleich zu dem ursprünglichen Parallelogramm ist, gilt diese Flächenformel auch für Parallelogramme!
Herleitung der 2. Formel
Wir zeichnen die Höhe $h_b$ ein.
Anschließend verschieben wir das Dreieck, das durch $h_b$ gebildet wird,…
…auf die gegenüberliegende Seite.
Der Flächeninhalt des auf diese Weise gebildeten Rechtecks können wir mit der Formel Länge mal Breite
berechnen:
$A = b \cdot h_b$
…und weil das Rechteck flächengleich zu dem ursprünglichen Parallelogramm ist, gilt diese Flächenformel auch für Parallelogramme!
Formeln
$$ \begin{align*} A &= a \cdot h_a &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}} \\[5px] &= b \cdot h_b &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}} \end{align*} $$
$a$ und $h_a$ sowie $b$ und $h_b$ sind Längen in jeweils derselben Maßeinheit.
Falls die Längen nicht in derselben Maßeinheit vorliegen, müssen wir umrechnen.
$A$ steht für den Flächeninhalt.
| Längeneinheiten | Flächeneinheiten |
|---|---|
$\textrm{mm}$ Millimeter | $\textrm{mm}^2$ Quadratmillimeter |
$\textrm{cm}$ Zentimeter | $\textrm{cm}^2$ Quadratzentimeter |
$\textrm{dm}$ Dezimeter | $\textrm{dm}^2$ Quadratdezimeter |
$\textrm{m}$ Meter | $\textrm{m}^2$ Quadratmeter |
$\textrm{km}$ Kilometer | $\textrm{km}^2$ Quadratkilometer |
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass es noch eine dritte Formel gibt: $A = ab \sin \alpha$.
Da diese Formel in der Schule allerdings keine Rolle spielt, verzichte ich auf eine Herleitung.
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte einsetzen
Ergebnis berechnen
Achte beim Ergebnis auf die Einheit! Eine $24\ \textrm{cm}$ große Fläche gibt es nicht!
Beispiele
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Parallelogramms mit $a = 6\ \textrm{cm}$ und $h_a = 4\ \textrm{cm}$?
Formel aufschreiben
$$ A = a \cdot h_a $$
Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{h_a}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = 6\ \textrm{cm} \cdot 4\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (6 \cdot 4) \cdot (\textrm{cm} \cdot \textrm{cm}) \\[5px] &= 24\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Parallelogramms mit $b = 5\ \textrm{m}$ und $h_b = 8\ \textrm{m}$?
Formel aufschreiben
$$ A = b \cdot h_b $$
Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{h_a}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = 5\ \textrm{m} \cdot 8\ \textrm{m} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (5 \cdot 8) \cdot (\textrm{m} \cdot \textrm{m}) \\[5px] &= 40\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$
Wusstest du schon, dass $\textrm{m}^2$ lediglich eine abkürzende Schreibweise für $\textrm{m} \cdot \textrm{m}$ ist? Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!
