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Flächeninhalt:
Parallelogramm

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen.
(Einführung: Parallelogramm)

Bei einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Es gibt somit zwei verschiedene Seitenlängen, die wir mit den Buchstaben \(a\) und \(b\) bezeichnen.

Außerdem spielen die beiden Höhen \(h_a\) und \(h_b\) eine wichtige Rolle bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts \(A\) eines Parallelogramms lautet

\(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\)

Dabei ist \(h_a\) die Höhe auf die Seite \(a\) und \(h_b\) die Höhe auf die Seite \(b\).

Fläche eines Parallelogramms berechnen

Im folgenden Beispiel zeigen wir euch, wie man die Flächeninhaltsformel eines Parallelogramms richtig anwendet. Vergiss nicht, dass Längen und Flächen unterschiedliche Einheiten haben!

Aufgabe

Berechne den Flächeninhalt eines Parallelogramms, von dem folgende Informationen bekannt sind:

  • \(a = 6 \text{ cm}\)
  • \(b = \frac{16}{3} \text{ cm}\)
  • \(h_a = 4 \text{ cm}\)
  • \(h_b = 4,5 \text{ cm}\)

Es gibt zwei Möglichkeiten, den Flächeninhalt zu berechnen.

Möglichkeit 1

\(A = a \cdot h_a\)
\(A = 6 \cdot 4 = 24\)

Antwort:
Ein Parallelogramm mit der Seitenlänge \(a = 6 \text{ cm}\) und der Höhe \(h_a = 4 \text{ cm}\) besitzt einen Flächeninhalt von 24 cm².

Möglichkeit 2

\(A = b \cdot h_b\)
\(A = \frac{16}{3} \cdot 4,5 = 24\)

Antwort:
Ein Parallelogramm mit der Seitenlänge \(b = \frac{16}{3} \text{ cm}\) und der Höhe \(h_b = 4,5 \text{ cm}\) besitzt einen Flächeninhalt von 24 cm².

Das Beispiel hat schön gezeigt, dass es zwei Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms gibt, die beide zu demselben Ergebnis führen.

Parallelogramm: Herleitung der Formel

Wir kennen bereits die Formeln, um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen. Es stellt sich allerdings die Frage, wie man auf diese beiden Formeln kommt.

Voraussetzung für das Verständnis der folgenden Herleitung ist, dass du bereits weißt, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet.

Herleitung der 1. Formel

Gegeben ist ein beliebiges Parallelogramm.

Die untere Seite bezeichnen wir mit dem Buchstaben \(a\).

Wir zeichnen die Höhe \(h_a\) auf die Seite \(a\) ein.

Jetzt trennen wir das Dreieck ab, das durch die Höhe \(h_a\) begrenzt wird.

Das eben abgetrennte Dreieck hängen wir auf der anderen Seite des Parallelogramms wieder an.

Warum haben wir das gemacht?
Wir wollten zeigen: Ein Parallelogramm ist flächengleich einem Rechteck.

In diesem Fall heißen die Seiten des Rechtecks \(a\) und \(h_a\).
Für den Flächeninhalt gilt folglich: \(A = a \cdot h_a\).

Herleitung der 2. Formel

Gegeben ist ein beliebiges Parallelogramm.

Die rechte Seite bezeichnen wir mit dem Buchstaben \(a\).

Wir zeichnen die Höhe \(h_b\) auf die Seite \(b\) ein.

Jetzt trennen wir das Dreieck ab, das durch die Höhe \(h_b\) begrenzt wird.

Das eben abgetrennte Dreieck hängen wir auf der anderen Seite des Parallelogramms wieder an.

Warum haben wir das gemacht?
Wir wollten zeigen: Ein Parallelogramm ist flächengleich einem Rechteck.

In diesem Fall heißen die Seiten des Rechtecks \(b\) und \(h_b\).
Für den Flächeninhalt gilt folglich: \(A = b \cdot h_b\).

Mehr zum Thema Flächenberechnung

Im Zusammhang mit der Flächenberechnung gibt es einige Aufgabenstellungen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich, die folgenden Themen nacheinander durchzuarbeiten!

  Formel
Vierecke  
Flächeninhalt: Quadrat \(A = a \cdot a\)
Flächeninhalt: Rechteck \(A = a \cdot b\)
Flächeninhalt: Parallelogramm \(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\)
Flächeninhalt: Trapez \(A = \frac{1}{2} (a + c) \cdot h = m \cdot h\)
Flächeninhalt: Raute \(A = \frac{1}{2}ef\)
Kreis  
Kreisfläche \(A = \pi \cdot r^2\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!