Über 80 € Preisvorteil gegenüber Einzelkauf!
Mathe-eBooks im Sparpaket
Von Schülern, Studenten, Eltern und
Lehrern mit 4,86/5 Sternen bewertet.
47 PDF-Dateien mit über 5000 Seiten
inkl. 1 Jahr Updates für nur 29,99 €.
Ab dem 2. Jahr nur 14,99 €/Jahr.
Kündigung jederzeit mit wenigen Klicks.
Jetzt Mathebibel herunterladen

Flächeninhalt: Sehnenviereck

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks zu berechnen. Ein Sehnenviereck ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Flächeninhalt ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Im Sehnenviereck sind alle vier Seiten Sehnen eines Kreises.

Abb. 1 / Sehnenviereck 

Formel 

$$ A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} $$

mit $s = \frac{1}{2}(a+b+c+d)$ (Halber Umfang)

Die Seiten $a$, $b$, $c$ und $d$ sind Längen in jeweils derselben Maßeinheit. Falls die Längen nicht in derselben Maßeinheit vorliegen, müssen wir umrechnen.

$A$ steht für den Flächeninhalt.

LängeneinheitenFlächeneinheiten
$\textrm{mm}$ Millimeter$\textrm{mm}^2$ Quadratmillimeter
$\textrm{cm}$ Zentimeter$\textrm{cm}^2$ Quadratzentimeter
$\textrm{dm}$ Dezimeter$\textrm{dm}^2$ Quadratdezimeter
$\textrm{m}$ Meter$\textrm{m}^2$ Quadratmeter
$\textrm{km}$ Kilometer$\textrm{km}^2$ Quadratkilometer

Anleitung 

$\boldsymbol{s}$ berechnen

Formel aufschreiben

Werte für $a$, $b$, $c$ und $d$ einsetzen

Ergebnis berechnen

$\boldsymbol{A}$ berechnen

Formel aufschreiben

Werte für $s$, $a$, $b$, $c$ und $d$ einsetzen

Ergebnis berechnen

Achte beim Ergebnis auf die Einheit! Eine $4{,}9\ \textrm{cm}$ große Fläche gibt es nicht!

Beispiel 

Beispiel 1 

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Sehnenvierecks mit $a = 1\ \textrm{cm}$, $b = 2\ \textrm{cm}$, $c = 3\ \textrm{cm}$ und $d = 4\ \textrm{cm}$?

$\boldsymbol{s}$ berechnen

Formel aufschreiben

$$ s = \frac{1}{2}(a+b+c+d) $$

Werte für $a$, $b$, $c$ und $d$ einsetzen

$$ \phantom{s} = \frac{1}{2}(1\ \textrm{cm}+2\ \textrm{cm}+3\ \textrm{cm}+4\ \textrm{cm}) $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{s} &= \frac{1}{2}(1\ \textrm{cm}+2\ \textrm{cm}+3\ \textrm{cm}+4\ \textrm{cm}) \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot 10\ \textrm{cm} \\[5px] &= 5\ \textrm{cm} \end{align*} $$

$\boldsymbol{A}$ berechnen

Formel aufschreiben

$$ A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} $$

Werte für $s$, $a$, $b$, $c$ und $d$ einsetzen

$$ \phantom{A} = \sqrt{(5\ \textrm{cm}-1\ \textrm{cm})(5\ \textrm{cm}-2\ \textrm{cm})(5\ \textrm{cm}-3\ \textrm{cm})(5\ \textrm{cm}-4\ \textrm{cm})} $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{A} &= \sqrt{4\ \textrm{cm} \cdot 3\ \textrm{cm} \cdot 2\ \textrm{cm} \cdot 1\ \textrm{cm}} \\[5px] &= \sqrt{24\ \textrm{cm}^4} \\[5px] &= \sqrt{24} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^4} \\[5px] &= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^4} \\[5px] &= \sqrt{2^2 \cdot 6} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^4} \\[5px] &= \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^4} \\[5px] &= \pm 2\sqrt{6}\ \textrm{cm}^2 \\[5px] &\approx \pm 4{,}9\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$

Rein rechnerisch betrachtet kommen als Lösungen $4{,}9\ \textrm{cm}^2$ und $-4{,}9\ \textrm{cm}^2$ infrage. Da Flächen immer positiv sind (Bedingung $A > 0$), ist $A = 4{,}9\ \textrm{cm}^2$ die einzige Lösung.

Wusstest du schon, dass $\textrm{cm}^2$ lediglich eine abkürzende Schreibweise für $\textrm{cm} \cdot \textrm{cm}$ ist? Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern