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Flächeninhalt:
Trapez

In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen.
(Einführung: Trapez)

Im Folgenden lernen wir zwei Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes kennen.

Für die eine Formel brauchen wir die Seiten \(a\) und \(c\) sowie die Höhe \(h\).

Für die andere Formel genügt die Höhe \(h\) und die Mittellinie \(m\) des Trapezes.

Flächeninhalt eines Trapezes berechnen

Im Folgenden zeigen wir euch anhand von Beispielen, wie man die Flächeninhaltsformeln eines Trapezes richtig anwendet. Vergiss nicht, dass Längen und Flächen unterschiedliche Einheiten haben!

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts \(A\) eines Trapezes in Abhängigkeit der Seiten \(a\) und \(c\) sowie der Höhe \(h\) lautet

\(A = \frac{1}{2} (a+c) \cdot h\)

Aufgabe 1
Wie groß ist die Fläche, die ein Trapez mit den Seitenlängen a = 8 cm, c = 2 cm und der Höhe h = 4 cm umschließt?

Lösung
\(A = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h\)
\(A = \frac{1}{2}(8+2) \cdot 4 = 20\)

Antwort
Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt 20 cm².

Aufgabe 2
Wie groß ist die Fläche, die ein Trapez mit den Seitenlängen a = 6 cm, c = 4 cm und der Höhe h = 3 cm umschließt?

Lösung
\(A = \frac{1}{2}(a+c) \cdot h\)
\(A = \frac{1}{2}(6+4) \cdot 3 = 15\)

Antwort
Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt 15 cm².

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts \(A\) eines Trapezes in Abhängigkeit der Mittellinie \(m\) und der Höhe \(h\) lautet

\(A = m \cdot h\)

Aufgabe 3
Wie groß ist die Fläche, die ein Trapez mit der Mittellinie m = 5 cm und der Höhe h = 4 cm umschließt?

Lösung
\(A = m \cdot h\)
\(A = 5 \cdot 4 = 20\)

Antwort
Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt 20 cm².

Aufgabe 4
Wie groß ist die Fläche, die ein Trapez mit der Mittellinie m = 5 cm und der Höhe h = 3 cm umschließt?

Lösung
\(A = m \cdot h\)
\(A = 5 \cdot 3 = 15\)

Antwort
Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt 15 cm².

Trapez: Herleitung der Formel

Wir kennen bereits die Formeln, um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen. Es stellt sich allerdings die Frage, wie man auf diese beiden Formeln kommt.

Voraussetzung für das Verständnis der folgenden Herleitungen ist, dass du bereits weißt, wie man den Flächeninhalt eines Parallelogramms (1. Herleitung) bzw. den Flächeninhalt eines Rechtecks (2. Herleitung) berechnet.

Herleitung der 1. Formel

Gegeben ist ein beliebiges Trapez.

Die untere Seite des Trapezes bezeichnen wir mit dem Buchstaben \(a\), die obere mit dem Buchstaben \(c\).

Neben dem Trapez befindet sich ein weiteres Trapez, das genauso groß ist wie das erste.

Jetzt drehen wir das zweite Trapez um 180° Grad - also so, dass es auf dem Kopf steht.

Wenn wir nun die beiden Trapeze aneinanderlegen, erhalten wir ein Parallelogramm.

Wie man den Flächeninhalt eines Parallelogramm berechnet, wissen wir bereits. In diesem Fall gilt für die Fläche des Parallelogramms:
\(A = (a + c) \cdot h\)
Die Fläche eines (!) Trapezes ist genau halb so groß wie die Fläche dieses Parallelogramms, welches ja aus zwei gleich großen Trapezen besteht.
Für die Fläche eines Trapezes gilt folglich:
\(A = \frac{1}{2}(a + c) \cdot h\)

Herleitung der 2. Formel

Gegeben ist ein beliebiges Trapez, dessen Mittellinie \(m\) und Höhe \(h\) bekannt sind.

Ein Trapez lässt sich so umformen,

dass es flächengleich einem Rechteck mit den Seitenlängen \(m\) und \(h\) ist.

Der Flächeninhalt eines Trapezes berechnet sich deshalb nach folgender Formel:
\(A = m \cdot h\)

Zwischen der Mittellinie \(m\) und den Seiten \(a\) und \(c\) eines Trapezes gilt folgender Zusammenhang

\(m = \frac{1}{2}(a+c)\)

Mehr zum Thema Flächenberechnung

Im Zusammhang mit der Flächenberechnung gibt es einige Aufgabenstellungen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich, die folgenden Themen nacheinander durchzuarbeiten!

  Formel
Vierecke  
Flächeninhalt: Quadrat \(A = a \cdot a\)
Flächeninhalt: Rechteck \(A = a \cdot b\)
Flächeninhalt: Parallelogramm \(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\)
Flächeninhalt: Trapez \(A = \frac{1}{2} (a + c) \cdot h = m \cdot h\)
Flächeninhalt: Raute \(A = \frac{1}{2}ef\)
Kreis  
Kreisfläche \(A = \pi \cdot r^2\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!