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Funktionen zeichnen

In diesem Kapitel lernen wir, wie man Funktionen in ein Koordinatensystem zeichnet.

Um Fehler zu vermeiden, solltest du dir ein systematisches Vorgehen angewöhnen.

Vorgehensweise

  1. Wertetabelle anlegen
  2. y-Werte berechnen
  3. Zeichnung anfertigen

Schauen wir uns dazu einige Beispiele an.

Lineare Funktionen zeichnen

Zeichne die folgende Funktion in ein Koordinatensystem

\(f(x) = 2x - 2\)

1.) Wertetabelle anlegen

Bevor wir unsere lineare Funktion zeichnen können, müssen wir einige Werte berechnen. Nur auf diese Weise haben wir am Ende eine saubere Zeichunung vor uns.

Dazu legen wir eine Wertetabelle an. In der ersten Zeile stehen (beliebige) x-Werte. Bei linearen Funktionen verwendet man meist Werte im Intervall von -3 bis 3 (oder -5 bis 5) im Abstand von einer Einheit. In der zweiten Zeile stehen später die y-Werte zu den eben ausgesuchten x-Werten. Diese Zeile bleibt aber zunächst leer, da wir diese Werte erst berechnen müssen (siehe Schritt 2).

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x-Werte} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
\text{y-Werte} & & & & & & & \\
\end{array}\)

2.) y-Werte berechnen

Jetzt setzen wir nacheinander unsere x-Werte in die Gleichung

\(y = 2x - 2\)

ein, um die gesuchten y-Werte zu berechnen.

\(f(-3) = 2 \cdot (-3) - 2 = -8\)

\(f(-2) = 2 \cdot (-2) - 2 = -6\)

\(f(-1) = 2 \cdot (-1) - 2 = -4\)

\(f(0) = 2 \cdot 0 - 2 = -2\)

\(f(1) = 2 \cdot 1 - 2 = 0\)

\(f(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 2\)

\(f(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 4\)

Nachdem wir alle Werte berechnet haben, können wir die Wertetabelle vollständig ausfüllen.

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x-Werte} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
\text{y-Werte} & -8 & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\
\end{array}\)

Jede Spalte ist graphisch betrachtet ein Punkt. Der erste Punkt lautet z.B. \(P_1\) (-3|-8).

3.) Zeichnung anfertigen

Zunächst zeichnen wir die berechneten Punkte in das Koordinatensystem...

...danach zeichnen wir mit Hilfe eines Lineals eine Gerade durch die Punkte.

Quadratische Funktionen zeichnen

Zeichne die folgende quadratische Funktion in ein Koordinatensystem

\(f(x) = x^2 - 4x + 7\)

1.) Wertetabelle anlegen

Bevor wir unsere quadratische Funktion zeichnen können, müssen wir einige Werte berechnen. Nur auf diese Weise haben wir am Ende eine saubere Zeichunung vor uns.

Dazu legen wir eine Wertetabelle an. In der ersten Zeile stehen (beliebige) x-Werte. Bei quadratischen Funktionen verwendet man meist Werte im Intervall von -5 bis 5 im Abstand von einer Einheit. In der zweiten Zeile stehen später die y-Werte zu den eben ausgesuchten x-Werten. Diese Zeile bleibt aber zunächst leer, da wir diese Werte erst berechnen müssen (siehe Schritt 2).

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
\text{x-Werte}  & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline
\text{y-Werte}  & & & & & \\
\end{array}\)

2.) y-Werte berechnen

Jetzt setzen wir nacheinander unsere x-Werte in die Gleichung

\(f(x) = x^2 - 4x + 7\)

ein, um die gesuchten y-Werte zu berechnen.

\(f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 7 = 7\)

\(f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 7 = 4\)

\(f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 3\)

\(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 7 = 4\)

\(f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 7 = 7\)

Nachdem wir alle Werte berechnet haben, können wir die Wertetabelle vollständig ausfüllen.

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
\text{x-Werte}  & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline
\text{y-Werte}  & 7 & 4 & 3 & 4 & 7 \\
\end{array}\)

Jede Spalte ist graphisch betrachtet ein Punkt. Der erste Punkt lautet z.B. \(P_1\) (0|7).

3.) Zeichnung anfertigen

Zunächst zeichnen wir die berechneten Punkte in das Koordinatensystem...

...danach verbinden wir die Punkte zu einer Parabel.

Exponentialfunktion zeichnen

Zeichne die folgende Exponentialfunktion in ein Koordinatensystem

\(f(x) = 2^x\)

1.) Wertetabelle anlegen

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
\text{x-Werte}  & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline
\text{y-Werte}  & & & & & & & \\
\end{array}\)

2.) y-Werte berechnen

Jetzt setzen wir nacheinander die in der Wertetabelle festgelegten x-Werte in die Gleichung

\(f(x) = 2^x\)

ein, um die gesuchten y-Werte zu berechnen.

\(f(-3) = 2^{-3} = \frac{1}{8}\)

\(f(-2) = 2^{-2} = \frac{1}{4}\)

\(f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}\)

\(f(0) = 2^{0} = 1\)

\(f(1) = 2^{1} = 2\)

\(f(2) = 2^{2} = 4\)

\(f(3) = 2^{3} = 8\)

Nachdem wir alle Werte berechnet haben, können wir die Wertetabelle vollständig ausfüllen.

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
\text{x-Werte}  & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline
\text{y-Werte}  & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 & 8 \\
\end{array}\)

Jede Spalte ist graphisch betrachtet ein Punkt. Der erste Punkt lautet z.B. \(P_1\) (-3|\(\frac{1}{8}\)).

3.) Zeichnung anfertigen

Zunächst zeichnen wir die berechneten Punkte in das Koordinatensystem...

...danach verbinden wir die Punkte zu einer Kurve.

e-Funktion zeichnen

Zeichne die folgende Exponentialfunktion in ein Koordinatensystem

\(f(x) = e^x\)

1.) Wertetabelle anlegen

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
\text{x-Werte}  & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline
\text{y-Werte}  & & & & & \\
\end{array}\)

2.) y-Werte berechnen

Jetzt setzen wir nacheinander die in der Wertetabelle festgelegten x-Werte in die Gleichung

\(f(x) = e^x\)

ein, um die gesuchten y-Werte zu berechnen.

\(f(-2) = e^{-2} \approx 0,14\)

\(f(-1) = e^{-1} \approx 0,37\)

\(f(0) = e^{0} = 1\)

\(f(1) = e^{1} \approx 2,72\)

\(f(2) = e^{2} \approx 7,39\)

Nachdem wir alle Werte berechnet haben, können wir die Wertetabelle vollständig ausfüllen.

\(\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
\text{x-Werte}  & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline
\text{y-Werte}  & 0,14 & 0,37 & 1 & 2,72 & 7,39 \\
\end{array}\)

Jede Spalte ist graphisch betrachtet ein Punkt. Der erste Punkt lautet z.B. \(P_1\) (-2|0,14).

3.) Zeichnung anfertigen

Zunächst zeichnen wir die berechneten Punkte in das Koordinatensystem...

...danach verbinden wir die Punkte zu einer Kurve.

Spezialfall: Konstante Funktionen

Eine konstante Funktion nimmt unabhängig vom x-Wert immer einen festen (konstanten) y-Wert an. Aus diesem Grund macht es keinen Sinn, eine Wertetabelle anzulegen. Konstante Funktionen kann man stets direkt in ein Koordinatensystem zeichnen.

Die allgemeine Gleichung für konstante Funktionen lautet

\(f(x) = c\)

Dabei ist \(c\) irgendeine reelle Zahl.

Charakteristisch für konstante Funktionen ist - wie man deutlich sieht -, dass in der Gleichung die Variable \(x\) nicht vorkommt.

Graphisch handelt es sich bei einer konstanten Funktion um eine Gerade mit der Steigung 0 oder kurz gesagt um eine waagrechte Gerade.

Im nächsten Kapitel schauen wir uns die konstanten Funktionen etwas genauer an.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!