Gauß-Algorithmus

In diesem Kapitel besprechen wir den Gauß-Algorithmus.

Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme.

Neben der Berechnung linearer Gleichungssysteme kann man mit Hilfe des Gauß-Algorithmus auch sehr einfach Determinanten berechnen.

Mathematik Video

In diesem Mathe Video (7:56 min) wird dir anhand eines anschaulichen Beispiels erklärt, wie man mit Hilfe des Gauß-Algorithmus ein lineares Gleichungssystem löst.

Im Folgenden wird der Gauß-Algorithmus anhand eines Beispiels ausführlich erklärt.

Aufgabenstellung

Gegeben ist das Gleichungssystem

\(\begin{align*}
x_1 - x_2 + 2x_3 &= 0 \\
-2x_1 + x_2 - 6x_3 &= 0 \\
x_1 - 2x_3 &= 3 \\
\end{align*}\)

Unter dem "Lösen linearer Gleichungssysteme" versteht man die Berechnung der Unbekannten - in diesem Fall von \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\).

Tipp: Schreibarbeit sparen!

Da zum Lösen eines Gleichungssystems meist mehrere Schritte notwendig sind, wird es irgendwann lästig, bei jedem Schritt das ganze Gleichungssystem nochmal abzuschreiben. Aus diesem Grund lassen wir die Unbekannten weg und schreiben nur die Koeffizienten auf.

Statt

\(\begin{align*}
x_1 - x_2 + 2x_3 &= 0 \\
-2x_1 + x_2 - 6x_3 &= 0 \\
x_1 - 2x_3 &= 3 \\
\end{align*}\)

schreiben wir also

\(\begin{array}{rrr|c}
x_1 & x_2 & x_3 & r. S. \\
\hline
1 & -1 & 2 & 0\\
-2 & 1 & -6 & 0\\
1 & 0 & -2 & 3
\end{array}\)

Dabei steht "r. S." für die rechte Seite des Gleichungssystems. Das ist der Teil, der rechts von dem Gleichheitszeichen steht.

Vorüberlegung: Ziel des Gauß-Algorithmus

Bevor wir mit der eigentlichen Rechenarbeit beginnen, überlegen wir uns, was eigentlich unser Ziel ist.

Ziel des Gauß-Algorithmus ist es, mit Hilfe von zeilenweisen Umformungen (dazu gleich mehr) unter der Hauptdiagonalen Nullen zu erzeugen. Was zunächst sehr abstrakt klingt, ist eigentlich gar nicht so schwierig.

Nach einigen Umformungen sieht das Gleichungssystem so aus:

\(\begin{array}{rrr|c}
x_1 & x_2 & x_3 & r. S. \\
\hline
1 & -1 & 2 & 0\\
{\color{red}0}& -1 & -2 & 0\\
{\color{red}0}& {\color{red}0} & -6 & 3
\end{array}\)

Doch was hat uns diese Umformung gebracht? Erst wenn wir wieder unsere Unbekannten einfügen, wird deutlich, was uns diese Nullen bringen.

\(\begin{align*}
x_1 - x_2 + 2x_3 &= 0 \\
-x_2 - 2x_3 &= 0 \\
-6x_3 &= 3 \\
\end{align*}\)

Ist das Gleichungssystem so umgeformt, dass unter der Hauptdiagonalen nur noch Nullen sind, kann man die Unbekannten ganz leicht berechnen.

Berechnung von \(x_3\)

Mit Hilfe der 3. Zeile lässt sich \(x_3\) ganz einfach berechnen

\(-6x_3 = 3 \qquad \rightarrow \qquad x_3 = -0,5\)

Berechnung von \(x_2\)

Mit Hilfe der 2. Zeile und \(x_3 = -0,5\) lässt sich \(x_2\) ganz einfach berechnen

\(-x_2 - 2 \cdot (-0,5) = 0 \qquad \rightarrow \qquad x_2 = 1\)

Berechnung von \(x_1\)

Mit Hilfe der 3. Zeile,\(x_3 = -0,5\) und \(x_2 = 1\) lässt sich \(x_1\) ganz einfach berechnen

\(x_1 - 1 + 2 \cdot (-0,5) = 0 \qquad \rightarrow \qquad x_1 = 2\)

Zwischen-Fazit

Keine Sorge! Wie man die Nullen unter der Hauptdiagonalen berechnet, erfährst du gleich. Wichtig ist zunächst nur, dass du verstanden hast, warum man überhaupt diese Nullen berechnen muss: Die Berechnung der Unbekannten wird dadurch extrem vereinfacht!

Berechnung der Nullen

Um die Nullen zu berechnen, darf man Zeilen...

  • vertauschen
  • mit einer Zahl multiplizieren
  • durch eine Zahl dividieren
  • addieren
  • subtrahieren

Gauß-Algorithmus - Beispiel

Zurück zu unserem Gleichungssystem

\(
\fcolorbox{RoyalBlue}{Skyblue}{\(
\begin{array}{rrr|c}
1 & -1 & 2 & 0\\
-2 & 1 & -6 & 0\\
1 & 0 & -2 & 3
\end{array}
\)}
\)

1.) Berechnung der Null in der 3. Zeile (1. Spalte)

\(\begin{array}{rrr|c}
1 & -1 & 2 & 0\\
-2 & 1 & -6 & 0\\
1 & 0 & -2 & 3
\end{array}\)

Um die Null zu berechnen, ziehen wir von der 3. Zeile die 1. Zeile ab.

Ausführlich:

\(\begin{array}{rrr|l}
1 & 0 & -2 & 3 \qquad \text{3. Zeile}\\
1 & -1 & 2 & 0 \qquad \text{1. Zeile}\\
\hline
0 & 1 & -4 & 3 \qquad \text{3. Zeile - 1. Zeile*}
\end{array}\)

Umgeformtes Gleichungssystem nach dem ersten Schritt

\(
\fcolorbox{RoyalBlue}{Skyblue}{\(
\begin{array}{rrr|l}
1 & -1 & 2 & 0 \qquad \text{1. Zeile}\\
-2 & 1 & -6 & 0 \qquad \text{2. Zeile}\\
{\color{white}0}& 1 & -4 & 3 \qquad \text{3. Zeile*}
\end{array}
\)}
\)

2.) Berechnung der Null in der 2. Zeile (1. Spalte)

Um die Null zu berechnen, addieren wir zu der 2. Zeile zweimal die 1. Zeile.

\(\begin{array}{rrr|l}
-2 & 1 & -6 & 0 \qquad \text{2. Zeile}\\
2 & -2 & 4 & 0 \qquad \text{\(2 \cdot\) 1. Zeile}\\
\hline
0 & -1 & -2 & 0 \qquad \text{2. Zeile + \(2 \cdot\) 1. Zeile*}
\end{array}\)

Umgeformtes Gleichungssystem nach dem zweiten Schritt

\(
\fcolorbox{RoyalBlue}{Skyblue}{\(
\begin{array}{rrr|l}
1 & -1 & 2 & 0 \qquad \text{1. Zeile}\\
{\color{white}0}& -1 & -2 & 0\qquad \text{2. Zeile*}\\
{\color{white}0}& 1 & -4 & 3 \qquad \text{3. Zeile}
\end{array}
\)}
\)

3.) Berechnung der Null in der 3. Zeile (2. Spalte)

Um die Null zu berechnen, addieren wir zu der 3. Zeile die 2. Zeile.

\(\begin{array}{rrr|l}
0 & 1 & -4 & 3\qquad \text{3. Zeile}\\
0 & -1 & -2 & 0\qquad \text{2. Zeile}\\
\hline
0 & 0 & -6 & 3\qquad \text{3. Zeile + 2. Zeile*}
\end{array}\)

Umgeformtes Gleichungssystem nach dem dritten Schritt

\(
\fcolorbox{RoyalBlue}{Skyblue}{\(
\begin{array}{rrr|l}
1 & -1 & 2 & 0 \qquad \text{1. Zeile}\\
{\color{white}0}& -1 & -2 & 0\qquad \text{2. Zeile}\\
{\color{white}0}& {\color{white}0}& -6 & 3\qquad \text{3. Zeile*}
\end{array}
\)}
\)

Da die Nullen unter der Hauptdiagonalen berechnet sind, haben wir unser Ziel erreicht. Wie man jetzt die Unbekannten berechnet, wurde bereits oben erklärt.

Fazit

Die Reihenfolge bei der Berechnung der Nullen spielt eine wichtige Rolle. Zuerst muss man die beiden Nullen in der ersten Spalte berechnen - welche der beiden Nullen man zuerst berechnet, ist jedoch egal. Anschließend berechnet man die verbleibende Null in der zweiten Spalte.

Falls in der ersten Zeile (der ersten Spalte!) bereits eine Null vorliegt, lohnt es sich die Zeilen entsprechend zu vertauschen, um sich die Berechnung einer Null zu sparen.

Tipp: Schreibarbeit minimieren!

Im obigen Beispiel haben wir jeden Rechenschritt ausführlich besprochen. Viele Schüler und Studenten stellen sich jedoch die Frage, wie man den Schreibaufwand möglichst gering halten kann. Dank der Anregungen von Herrn Prof. Siegert (HTW Berlin) konnten wir die Berechnung eines Gleichungssystems mittels Gauß-Algorithmus auf folgende Tabelle reduzieren:

\(\begin{array}{r|rrr|c|l}
\lambda & x_1 & x_2 & x_3 & r. S. &\\ \hline
&{\color{red}1}&{\color{red}-1}&{\color{red}2}&{\color{red}0} &\quad \rightarrow x_1 = 2 \\
2& -2 & 1 & -6 & 0 & \\
-1 & 1 & 0 & -2 & 3 & \\ \hline
&{\color{red}0}&{\color{red}-1}&{\color{red}-2}&{\color{red}0} &\quad \rightarrow x_2 = 1 \\
1 & 0 & 1 & -4 & 3 & \\ \hline
&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}-6}&{\color{red}3} &\quad \rightarrow x_3 = -0,5
\end{array}\)

Schauen wir uns einmal genau an, wie diese Tabelle entstanden ist.

1.) Anfangstabelle aufstellen

\(\begin{array}{r|rrr|c|l}
\lambda & x_1 & x_2 & x_3 & r. S. &\\ \hline
& 1 & -1 & 2 & 0 & \\
& -2 & 1 & -6 & 0 & \\
& 1 & 0 & -2 & 3 & \\ \hline
\end{array}\)

Der einzige Unterschied zum bisherigen Vorgehen besteht in dem Hinzufügen der 1. Spalte. Diese nennen wir \(\lambda\) (Lambda).

2.) Welche Rechenschritte sind für die Berechnung der Nullen in der 1. Spalte notwendig?

"0" in der 2. Zeile:
2. Zeile \(\fcolorbox{Red}{}{\(+2\)} \cdot\) 1. Zeile

\(\begin{array}{r|rrr|c|l}
\lambda & x_1 & x_2 & x_3 & r. S. &\\ \hline
& 1 & -1 & 2 & 0 & \\
\fcolorbox{Red}{}{\(2\)}& -2 & 1 & -6 & 0 & \\
-1 & 1 & 0 & -2 & 3 & \\ \hline
\end{array}\)

"0" in der 3. Zeile:
3. Zeile \(\fcolorbox{Red}{}{\(-1\)}\cdot\) 1. Zeile

\(\begin{array}{r|rrr|c|l}
\lambda & x_1 & x_2 & x_3 & r. S. &\\ \hline
& 1 & -1 & 2 & 0 & \\
2 & -2 & 1 & -6 & 0 & \\
\fcolorbox{Red}{}{\(-1\)}& 1 & 0 & -2 & 3 & \\ \hline
\end{array}\)

3.) Berechnung der Nullen in der 1. Spalte

Die beiden Rechenschritte, die notwendig sind, um die Nullen in der 1. Spalte zu berechnen, führen wir nun aus und schreiben die beiden "veränderten" Zeilen unter die anderen.

Da die erste Zeile unverändert bleibt, schreiben wir diese nicht erneut ab. Wir heben sie jedoch farblich hervor, um später zu erkennen, was die erste Zeile des Ergebnisses ist.

\(\begin{array}{r|rrr|c|l}
\lambda & x_1 & x_2 & x_3 & r. S. &\\ \hline
&{\color{red}1}&{\color{red}-1}&{\color{red}2}&{\color{red}0} & \\
2& -2 & 1 & -6 & 0 & \\
-1 & 1 & 0 & -2 & 3 & \\ \hline
& 0 & -1 & -2 & 0 & \\
& 0 & 1 & -4 & 3 & \\ \hline
\end{array}\)

4.) Welcher Rechenschritt ist für die Berechnung der Null in der 2. Spalte notwendig?

"0" in der 3. Zeile:
3. Zeile \(\fcolorbox{Red}{}{\(+1\)}\cdot\) 2. Zeile

\(\begin{array}{r|rrr|c|l}
\lambda & x_1 & x_2 & x_3 & r. S. &\\ \hline
&{\color{red}1}&{\color{red}-1}&{\color{red}2}&{\color{red}0} & \\
2& -2 & 1 & -6 & 0 & \\
-1 & 1 & 0 & -2 & 3 & \\ \hline
& 0 & -1 & -2 & 0 & \\
\fcolorbox{Red}{}{\(1\)}& 0 & 1 & -4 & 3 & \\ \hline
\end{array}\)

5.) Berechnung der Null in der 2. Spalte

Der Rechenschritt, der notwendig ist, um die Null in der 2. Spalte zu berechnen, führen wir nun aus und schreiben die "veränderte" Zeile unter die anderen.

Da die zweite Zeile nun unverändert bleibt, schreiben wir diese nicht erneut ab. Wir heben sie jedoch farblich hervor, um später zu erkennen, was die zweite Zeile des Ergebnisses ist.

\(\begin{array}{r|rrr|c|l}
\lambda & x_1 & x_2 & x_3 & r. S. &\\ \hline
&{\color{red}1}&{\color{red}-1}&{\color{red}2}&{\color{red}0} & \\
2& -2 & 1 & -6 & 0 & \\
-1 & 1 & 0 & -2 & 3 & \\ \hline
&{\color{red}0}&{\color{red}-1}&{\color{red}-2}&{\color{red}0} & \\
1 & 0 & 1 & -4 & 3 & \\ \hline
&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}-6}&{\color{red}3} &
\end{array}\)

Der Gauß-Algorithmus ist nun am Ziel, weshalb wir auch die dritte Zeile farblich hervorgehoben haben.

6.) Unbekannte berechnen

Im letzten Schritt berechnen wir mit Hilfe der farblich hervorgehobenen Zeilen unsere Unbekannten. Der Vollständigkeit halber tragen wir diese ebenfalls in die Tabelle ein.

\(\begin{array}{r|rrr|c|l}
\lambda & x_1 & x_2 & x_3 & r. S. &\\ \hline
&{\color{red}1}&{\color{red}-1}&{\color{red}2}&{\color{red}0} &\quad \rightarrow x_1 = 2 \\
2& -2 & 1 & -6 & 0 & \\
-1 & 1 & 0 & -2 & 3 & \\ \hline
&{\color{red}0}&{\color{red}-1}&{\color{red}-2}&{\color{red}0} &\quad \rightarrow x_2 = 1 \\
1 & 0 & 1 & -4 & 3 & \\ \hline
&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}-6}&{\color{red}3} &\quad \rightarrow x_3 = -0,5
\end{array}\)

Lineare Gleichungssysteme lösen

In der Mathematik gibt es einige Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Die folgende Tabelle bietet eine kleine Übersicht über dieses Themenfeld

Verfahren Niveau
Additionsverfahren Unterstufe/Mittelstufe
Einsetzungsverfahren Unterstufe/Mittelstufe
Gleichsetzungsverfahren Unterstufe/Mittelstufe
Cramersche Regel Oberstufe/Studium
Gauß-Algorithmus Oberstufe/Studium
Gauß-Jordan-Algorithmus Oberstufe/Studium

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!