Nullstellen
(Gebrochenrationale Funktion)

In diesem Kapitel besprechen wir, wie man die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion berechnet.

Eine gebrochenrationale Funktion

\[f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0} = \frac{P(x)}{Q(x)}\]

besitzt überall dort eine Nullstelle, wo das Zählerpolynom \(P(x)\) den Wert Null annimmt, das Nennerpolynom \(Q(x)\) jedoch einen Wert ungleich Null.

Eine gebrochenrationale Funktion

\[f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\]

besitzt an der Stelle \(x_0\) eine Nullstelle, wenn gilt

\(P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) \neq 0\)

Nullstellen berechnen

Bislang haben wir uns nur mit der Theorie beschäftigt. Es ist an der Zeit, dass wir uns das Thema anhand einiger Beispiele etwas genauer anschauen. Dabei gehen wir nach folgendem Schema vor:

Vorgehensweise

  1. Nullstellen des Zählers berechnen
  2. Nullstellen des Nenners berechnen
  3. Prüfen, ob die Bedingung für eine Nullstelle eingehalten wird

Beispiel 1

Gesucht sind die Nullstellen der Funktion

\[f(x) = \frac{x-1}{x-2}\]

1.) Nullstellen des Zählers berechnen

Der Zähler wird für \(x = 1\) gleich Null.

2.) Nullstellen des Nenners berechnen

Der Nenner wird für \(x = 2\) gleich Null.

3.) Prüfen, ob die Bedingung für eine Nullstelle eingehalten wird

Da die Nullstelle des Zählers nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Nenners ist, handelt es sich bei \(x = 1\) um eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion.

Graphik zu Beispiel 1

Der Graph der Funktion besitzt an der Stelle \(x = 1\) (roter Punkt) eine Nullstelle.

Beispiel 2

Gesucht sind die Nullstellen der Funktion

\[f(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2}\]

1.) Nullstellen des Zählers berechnen

Der Zähler wird für \(x = 1\) gleich Null.

2.) Nullstellen des Nenners berechnen

Der Nenner wird für \(x = 1\) gleich Null.

3.) Prüfen, ob die Bedingung für eine Nullstelle eingehalten wird

Da die Nullstelle des Zählers gleichzeitig eine Nullstelle des Nenners ist, handelt es sich bei \(x = 1\) nicht um eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion.

Graphik zu Beispiel 2

Der Graph der Funktion besitzt keine Nullstelle. Das bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt.

Mehr zu gebrochenrationalen Funktionen

Im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten.

  Kriterium
Zählergrad bestimmen Höchste Potenz im Zähler
Nennergrad bestimmen Höchste Potenz im Nenner
Asymptoten berechnen  
> Senkrechte Asymptote Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke)
> Waagrechte Asymptote Zählergrad < Nennergrad
                oder
Zählergrad = Nennergrad
> Schiefe Asymptote Zählergrad = Nennergrad + 1
> Asymptotische Kurve Zählergrad > Nennergrad + 1
Nullstellen berechnen \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) \neq 0\)
Polstelle \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) \neq 0\)
Hebbare Definitionslücke \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) = 0\)
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion  
Partialbruchzerlegung  

Vergewissere dich, dass du sowohl graphisch als auch rechnerisch die Begriffe "Nullstelle", "Definitionslücke", "Polstelle" und "Hebbare Definitionslücke" voneinander abgrenzen kannst. Auch den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer waagrechten Asymptote solltest du dir bewusst machen. All das wird in den obigen Artikeln ausführlich besprochen.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!