Geometrisches Mittel

In diesem Kapitel schauen wir uns das geometrische Mittel an.

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist das geometrische Mittel.

Das geometrische Mittel ist ein Lageparameter.

Unter dem Begriff Lageparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung machen. Da das geometrische Mittel die zentrale Lage einer Verteilung beschreibt, handelt es sich um einen Mittelwert.

Das geometrische Mittel (im Gegensatz zum arithmetischen Mittel) dient zur Messung des Durchschnitts einer prozentualen Veränderung. Aus diesem Grund sagt man zum geometrischen Mittel auch durchschnittliche Veränderungsrate.

Geometrisches Mittel berechnen

Im Folgenden unterscheiden wir, ob die Daten als Beobachtungswerte, absolute Häufigkeiten oder relative Häufigkeiten gegeben sind. Das geometrische Mittel von Beobachtungswerten bezeichnet man als ungewogenes geometrisches Mittel, wohingegen man das geometrische Mittel von absoluten und relativen Häufigkeiten als gewogenes geometrisches Mittel bezeichnet.

Um das Vorgehen zu verstehen, solltest du dich bereits mit dem Produktzeichen auskennen.

Ungewogenes geometrisches Mittel
(Beobachtungswerte gegeben)

\[\bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}\]

Um das ungewogene geometrische Mittel zu berechnen, multipliziert man zunächst alle gegebenen Elemente von \(x_1\) bis \(x_n\) miteinander. Anschließend berechnet man die \(n\)-te Wurzel des so ermittelten Produkts.

Beispiel

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
\hline
\text{Prozentsatz } p & 5\% & 3\% & -6\% & 2\% & 4\% \\ \hline
x_i = 1 + \frac{p}{100} & 1,05 & 1,03 & 0,94 & 1,02 & 1,04 \\ \hline
\end{array}\)

\[\bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[5]{1,05 \cdot 1,03 \cdot 0,94 \cdot 1,02 \cdot 1,04} \approx 1,015\]

Gewogenes geometrisches Mittel
(Absolute Häufigkeiten gegeben)

\[\bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{x_1^{H_1} \cdot x_2^{H_2} \cdot \ldots \cdot x_m^{H_m}} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^m x_i^{H_i}}\]

Um das gewogene geometrische Mittel zu berechnen, multipliziert man zunächst alle gegebenen Elemente von \(x_1\) bis \(x_m\) miteinander, wobei im Exponenten jedes Faktors seine absolute Häufigkeit \(H_i\) steht. Anschließend berechnet man die \(n\)-te Wurzel des so ermittelten Produkts.

Beispiel

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
\hline
\text{Prozentsatz } p & -2\% & -1\% & 0\% & 1\% & 2\% & 3\% \\ \hline
x_i = 1 + \frac{p}{100} & 0,98 & 0,99 & 1,00 & 1,01 & 1,02 & 1,03 \\ \hline
\text{Absolute Häufigkeit } H_i & 2 & 1 & 2 & 6 & 10 & 4 \\ \hline
\end{array}\)

Zunächst müssen wir die Anzahl der Beobachtungswerte berechnen.

\[n = \sum_{i=1}^{m} H_i\]

\(n = 2 + 1 + 2 + 6 + 10 + 4 = {\color{blue}{25}}\)

Danach können wir das geometrische Mittel berechnen.

\[\bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[{\color{blue}{25}}]{0,98^2 \cdot 0,99^1 \cdot 1,00^2 \cdot 1,01^6 \cdot 1,02^10 \cdot 1,03^4} \approx 1,013\]

Gewogenes geometrisches Mittel
(Relative Häufigkeiten gegeben)

\[\bar{x}_{\text{geom}} = x_1^{h_1} \cdot x_2^{h_2} \cdot \ldots \cdot x_n^{h_n} = \prod_{i=1}^m x_i^{h_i}\]

Um das gewogene geometrische Mittel zu berechnen, multipliziert man alle gegebenen Elemente von \(x_1\) bis \(x_m\) miteinander, wobei im Exponenten jedes Faktors seine relative Häufigkeit \(h_i\) steht.

Beispiel

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
\hline
\text{Prozentsatz } p & -5\% & -2\% & 0\% & 3\% & 5\% & 10\% \\ \hline
x_i = 1 + \frac{p}{100} & 0,95 & 0,98 & 1,00 & 1,03 & 1,05 & 1,10 \\ \hline
\text{Relative Häufigkeit } h_i & 0,05 & 0,05 & 0,10 & 0,20 & 0,25 & 0,35 \\ \hline
\end{array}\)

\[\bar{x}_{\text{geom}} = 0,95^{0,05} \cdot 0,98^{0,05} \cdot 1,00^{0,10} \cdot 1,03^{0,20} \cdot 1,05^{0,25} \cdot 1,10^{0,35} \approx 1,049\]

Lageparameter im Überblick

Im Folgenden findest du einen Überblick über einige populäre Lageparameter.

Arithmetisches Mittel \[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i\]
Geometrisches Mittel

\(\bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}\)

Harmonisches Mittel \[\bar{x}_{\text{harm}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\]
Median \[\begin{equation*}
\tilde{x} =
\begin{cases}
x_{\frac{n+1}{2}} & \text{für } n \text{ ungerade}\\
\frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}\right) & \text{für } n \text{ gerade}
\end{cases}
\end{equation*}\]
Modus

\(\bar{x}_{\text{d}} = \text{Häufigster Beobachtungswert}\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!