Mathebibel.de / Erklärungen / Algebra / Bruchrechnung / Gleichheit von Brüchen

Gleichheit von Brüchen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Gleichheit von Brüchen versteht.

Problemstellung

Gegeben sind zwei Brüche \(\frac{a}{b}\) und \(\frac{c}{d}\).

Die Frage ist, ob die Brüche gleich \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder ungleich \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\) sind.

Bei zähler- und nennergleichen Brüchen lässt sich diese Frage ohne Rechnung beantworten.

a) Zählergleiche Brüche

Zwei zählergleiche Brüche sind genau dann gleich,
wenn auch ihre Nenner gleich sind.

Beispiel 1

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{red}5}}\) und \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{red}6}}\) gleich sind.
Da die Zähler gleich, die Nenner jedoch ungleich sind, gilt: \(\frac{3}{5} \neq \frac{3}{6}\).

Beispiel 2

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}4}}{{\color{green}9}}\) und \(\frac{{\color{green}4}}{{\color{green}9}}\) gleich sind.
Da sowohl die Zähler als auch die Nenner gleich sind, gilt: \(\frac{4}{9} = \frac{4}{9}\).

b) Nennergleiche Brüche

Zwei nennergleiche Brüche sind genau dann gleich,
wenn auch ihre Zähler gleich sind.

Beispiel 1

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{red}4}}{{\color{green}7}}\) und \(\frac{{\color{red}5}}{{\color{green}7}}\) gleich sind.
Da die Nenner gleich, die Zähler jedoch ungleich sind, gilt: \(\frac{4}{7} \neq \frac{5}{7}\).

Beispiel 2

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{green}8}}\) und \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{green}8}}\) gleich sind.
Da sowohl die Nenner als auch die Zähler gleich sind, gilt: \(\frac{3}{8} = \frac{3}{8}\).

c) Brüche mit ungleichen Zählern & Nennern

Bei Brüchen, deren Zähler und Nenner sich voneinander unterscheiden, lässt sich nicht auf den ersten Blick erkennen, ob die Brüche gleich sind. Wir müssen dann ein wenig rechnen.

Multiplikation über Kreuz

\[(1) \quad \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} = \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Rightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} = {\color{red}b} \cdot {\color{red}c}\]

\[(2) \quad \frac{{\color{green}a}}{{\color{red}b}} \neq \frac{{\color{red}c}}{{\color{green}d}} \quad \Rightarrow \quad {\color{green}a} \cdot {\color{green}d} \neq {\color{red}b} \cdot {\color{red}c}\]

Beispiel 1

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}3}}{{\color{red}4}}\) und \(\frac{{\color{red}6}}{{\color{green}8}}\) gleich sind.

\[{\color{green}3} \cdot {\color{green}8} = {\color{red}4} \cdot {\color{red}6} \quad \Rightarrow \quad 24 = 24 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4} = \frac{6}{8}\]

Beispiel 2

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}2}}{{\color{red}5}}\) und \(\frac{{\color{red}3}}{{\color{green}10}}\) gleich sind.

\[{\color{green}2} \cdot {\color{green}10} \neq {\color{red}5} \cdot {\color{red}3} \quad \Rightarrow \quad 20 \neq 15 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{5} \neq \frac{3}{10}\]

Beispiel 3

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{{\color{green}14}}{{\color{red}18}}\) und \(\frac{{\color{red}35}}{{\color{green}45}}\) gleich sind.

\[{\color{green}14} \cdot {\color{green}45} = {\color{red}18} \cdot {\color{red}35} \quad \Rightarrow \quad 630 = 630 \quad \Rightarrow \quad \frac{14}{18} = \frac{35}{45}\]

Wenn größere Zahlen vorkommen (Beispiel 3), kann eine Berechnung ohne Taschenrechner ziemlich mühsam sein. Einfacher ist es in vielen Fällen, wenn man statt der Multiplikation über Kreuz die Brüche vollständig kürzt (> Brüche kürzen) und anschließend miteinander vergleicht.

Beispiel 3 (Fortsetzung)

Überprüfe, ob die Brüche \(\frac{14}{18}\) und \(\frac{35}{45}\) gleich sind.

\[\frac{14}{18} = \frac{\cancel{2} \cdot 7}{\cancel{2} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{7}{9}\]

\[\frac{35}{45} = \frac{\cancel{5} \cdot 7}{\cancel{5} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{7}{9}\]

\[\frac{7}{9} = \frac{7}{9} \quad \Rightarrow \quad \frac{14}{18} = \frac{35}{45}\]

Eine weitere Möglichkeit, um auf Gleichheit von Brüchen zu prüfen, ist es, die Brüche zunächst gleichnamig zu machen (> Brüche gleichnamig machen), d. h. die Brüche auf denselben Nenner zu bringen, und anschließend ihre Zähler miteinander zu vergleichen. Im Normalfall geht aber die Multiplikation über Kreuz oder das Kürzen der Brüche deutlich schneller.

Nachdem du dich jetzt schon ein wenig mit der Bruchrechnung auskennst, bist du endlich bereit, Aufgaben selbständig zu lösen. In meinem neuen eBook zu diesem Thema findest du eine Vielzahl von Aufgaben, die dich gezielt auf die anstehende Prüfung vorbereiten.

Bruchrechnung - eBook-Cover

✔ 412 Aufgaben (sortiert nach 30 Aufgabentypen)
✔ ausführliche Schritt-für-Schritt-Lösungen
✔ geeignet für alle Bundesländer und Schularten
✔ ideal zur Prüfungsvorbereitung
✔ sofort als PDF-Datei herunterladen
✔ Bezahlung mit PayPal, SOFORT, Giropay, Kreditkarte
✔ nur 3,90 € inkl. MwSt.
     Nettopreis: 3,28 € zzgl. 19 % Mehrwertsteuer

Jetzt kaufen und herunterladen

14-Tage-Geld-zurück-Garantie (> Widerrufsbelehrung)

Leseprobe: Bruchrechnung - Erklärungen, Aufgaben, Lösungen

Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!