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Gleichschenkliges Dreieck

Dreiecke lassen sich in verschiedene Dreiecksarten einteilen. Eine Einteilung nach den Seitenlängen führt zu unregelmäßigen Dreiecken, gleichschenkligen Dreiecken und gleichseitigen Dreiecken. In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein gleichschenkliges Dreieck ist.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck.

Bezeichnungen 

Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt Grundseite oder Basis.

Der Eckpunkt, der der Basis gegenüberliegt, heißt Spitze.

Die beiden Winkel, die an der Basis anliegen, heißen Basiswinkel. Der dritte Winkel heißt Winkel an der Spitze.

Abb. 1 / Bezeichnungen 

Eigenschaften 

Seiten 

In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang:

$$ a = b $$

Abb. 2 / Seiten 

Winkel 

In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Winkel gleich groß:

$$ \alpha = \beta $$

Abb. 3 / Winkel 

Anmerkung

Ein gleichschenkliges Dreieck kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein.

Besondere Linien und Punkte 

Die Seitenhalbierenden der Basis, die Mittelsenkrechten der Basis, die Höhe auf die Basis und die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze fallen zusammen.

$$ s_c = m_c = h_c = w_\gamma $$

Abb. 4 / Besondere Linien und Punkte 

Symmetrie 

Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch.

Es gibt genau eine Symmetrieachse. Die Symmetrieachse fällt mit den besonderen Linien des Dreiecks (siehe oben) zusammen.

Die Symmetrieachse teilt das Dreieck in zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke.

Abb. 5 / Symmetrie 

Ausblick

Spezialfall eines gleichschenkligen Dreiecks ist ein gleichseitiges Dreieck.

Formeln 

Höhe 

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

$$ a^2 = h_c^2 + \left(\frac{1}{2}c\right)^2 $$

Daraus folgt:

$$ h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2} $$

Abb. 6 / Höhe 

Umfang 

Wegen $a = b$ gilt:

$$ \begin{align*} U &= 2a + c \\[5px] &= 2b + c \end{align*} $$

Abb. 7 / Umfang 

Flächeninhalt 

$$ \begin{align*} A &= \frac{1}{2} \cdot \text{ Grundseite } \cdot \text{ Höhe } \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \end{align*} $$

Abb. 8 / Flächeninhalt 

Wenn wir $h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2}$ in $A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$ einsetzen, erhalten wir

$$ \begin{align*} A &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2} \\[5px] &= \frac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4a^2 - c^2} \end{align*} $$

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