Gleichseitiges Dreieck
Dreiecke lassen sich in verschiedene Dreiecksarten einteilen. Eine Einteilung nach den Seitenlängen führt zu unregelmäßigen Dreiecken, gleichschenkligen Dreiecken und gleichseitigen Dreiecken. In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein gleichseitiges Dreieck ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitiges Dreieck.
Gleichseitige Dreiecke sind auch gleichschenklig; jede Seite kann als Basis angesehen werden.
Eigenschaften
Seiten
Winkel
In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß:
$$ \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ $$
Anmerkung
Ein gleichseitiges Dreieck ist immer spitzwinklig (wegen $\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ$).
Es kann deshalb niemals rechtwinklig oder stumpfwinklig sein!
Besondere Linien und Punkte
Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte, Höhen und Winkelhalbierende fallen zusammen und schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt $M$.
$$ \begin{array}{rrrrrrr} s_a &=& m_a &=& h_a &=& w_\alpha \\[5px] s_b &=& m_b &=& h_b &=& w_\beta \\[5px] s_c &=& m_c &=& h_c &=& w_\gamma \\[5px] \end{array} $$
Außerdem gilt $s_a = s_b = s_c$ usw.
Symmetrie
Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch.
Es gibt drei Symmetrieachsen. Jede Symmetrieachse fällt mit den besonderen Linien des Dreiecks (siehe oben) zusammen.
Jede Symmetrieachse teilt das Dreieck in zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke.
Ein gleichschenkliges Dreieck ist drehsymmetrisch.
Symmetriezentrum: Mittelpunkt $M$
Drehwinkel: $\varphi = 120^\circ$
Anmerkung
- Alle gleichseitigen Dreiecke sind ähnlich.
- Die Angabe nur einer beliebigen Länge legt ein gleichseitiges Dreieck vollständig fest.
Formeln
Höhe
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
$$ a^2 = h^2 + \left(\frac{1}{2}a\right)^2 $$
Daraus folgt:
$$ h = \frac{1}{2}a\sqrt{3} $$
