Graph

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Graph einer Funktion versteht.

Um dieses Thema zu verstehen, solltest du bereits wissen, was eine Zuordnung ist und wie Funktionen definiert sind. Einige Grundlagen werden wir im Folgenden wiederholen.

Eine Funktion \(f\) ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element \({\color{red}x}\) der Definitionsmenge \({\color{red}D}\)
genau ein Element \({\color{blue}y}\) der Wertemenge \({\color{blue}W}\)
zugeordnet ist.

Wem diese Definition zu theoretisch ist, sollte folgende Abbildung genau betrachten:



Für die Definitionsmenge \(D\) gilt:
\({\color{red}D = \{1,2,3,4\}}\).

Für die Wertemenge \(W\) gilt:
\({\color{blue}W = \{2,4,6,8\}}\).

Der Zusammenhang zwischen den Elementen \({\color{red}x}\) der Definitionsmenge und den Elementen \({\color{blue}y}\) der Wertemenge zeigen Zuordnungspfeile an.

Um zu erklären, was eine Funktion ist, eignet sich die obige Abbildung hervorragend: Es ist sofort ersichtlich das jedem \({\color{red}x}\) genau ein \({\color{blue}y}\) zugeordnet ist. Möchte man allerdings weitere Informationen aus der Funktion herauslesen, wählt man eine andere Darstellung der Funktion.

Im Wesentlichen gibt es drei Möglichkeiten, um eine Funktion darzustellen:

  • Funktionsgleichung
  • Funktionsgraph (kurz: Graph)
  • Wertetabelle

In diesem Kapitel beschränken wir uns auf den Graphen einer Funktion.

Der Graph einer Funktion \(f\) ist
die Menge aller geordneten Paare \(({\color{red}x},{\color{blue}y})\)
aus den Elementen \({\color{red}x}\) der Definitionsmenge \({\color{red}D}\) und
den Elementen \({\color{blue}y}\) der Wertemenge \({\color{blue}W}\).

Geordnet bedeutet, dass in \(({\color{red}x},{\color{blue}y})\) die Reihenfolge von \({\color{red}x}\) und \({\color{blue}y}\) wichtig ist:
\(({\color{red}x},{\color{blue}y})\) ist verschieden von \(({\color{blue}y},{\color{red}x})\) (außer möglicherweise in Sonderfällen).

Beispiel: Graph einer Funktion



Laut Abbildung gilt:
\({\color{red}1} \longmapsto {\color{blue}2}\)
\({\color{red}2} \longmapsto {\color{blue}4}\)
\({\color{red}3} \longmapsto {\color{blue}6}\)
\({\color{red}4} \longmapsto {\color{blue}8}\)

Die Funktionsgleichung der obigen Funktion lautet:

\(\begin{equation*}
f(x) =
\begin{cases}
{\color{blue}2} & \text{für \(x = {\color{red}1}\)}\\
{\color{blue}4} & \text{für \(x = {\color{red}2}\)}\\
{\color{blue}6} & \text{für \(x = {\color{red}3}\)}\\
{\color{blue}8} & \text{für \(x = {\color{red}4}\)}\\
\end{cases}
\end{equation*}\)

Der Graph \(G\) der Funktion \(f\) ist die Menge aller geordneten Paare \((x,y)\):

\(G_f = \{({\color{red}1},{\color{blue}2}),({\color{red}2},{\color{blue}4}),({\color{red}3},{\color{blue}6}),({\color{red}4},{\color{blue}8})\}\)

Die geordneten Paare \(({\color{red}x},{\color{blue}y})\) werden meist als Punkte mit den Koordinaten \(({\color{red}x}|{\color{blue}y})\) interpretiert:

\(P_1({\color{red}1}|{\color{blue}2})\), \(P_2({\color{red}2}|{\color{blue}4})\), \(P_3({\color{red}3}|{\color{blue}6})\), \(P_4({\color{red}4}|{\color{blue}8})\)

Zeichnet man die Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem, erhält man nebenstehende Abbildung. Dabei handelt es sich um den Graphen der Funktion.

Der Graph besteht in diesem Fall lediglich aus vier Punkten. In den meisten Fällen (siehe nächster Abschnitt) handelt es sich bei dem Graphen einer Funktion um eine Gerade oder eine Kurve.

Graphen verschiedener Funktionen

Im Folgenden schauen wir uns einige Beispiele für Funktionsgraphen an.

Der Graph einer linearen Funktion ist
eine Gerade.

In der Abbildung ist der Graph der Funktion \(f(x) = x\) eingezeichnet.

Hier gilt:
\(D = \mathbb{R}\)
\(W = \mathbb{R}\)

Der Graph einer quadratischen Funktion
ist eine Parabel.

In der Abbildung ist der Graph der Funktion
\(f(x) = x^2\) eingezeichnet.

Hier gilt:
\(D = \mathbb{R}\)
\(W = [0;\infty[\)

In der Abbildung ist der Graph der Funktion
\(f(x) = \frac{1}{x}\) eingezeichnet.

Hier gilt:
\(D = \mathbb{R} \backslash \{0\}\)
\(W = \mathbb{R} \backslash \{0\}\)

Obwohl man zwei Kurven sieht, handelt es sich um den Graphen einer Funktion. Die Funktion ist für \(x = 0\) nicht definiert, weshalb der Graph nicht durchgehend verläuft.

In der Abbildung ist der Graph der folgenden Funktion eingezeichnet:

\(\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} -3 & \text{für \(x < 0\)}\\ 0 & \text{für \(x = 0\)}\\ 3 & \text{für \(x > 0\)} \end{cases} \end{equation*}\)

Hier gilt:
\(D = \mathbb{R}\)
\(W = \{-3,0,3\}\)

Dieser Artikel hat sich mit der Theorie zum Graphen einer Funktion beschäftigt. In Prüfungen ist meist die Funktionsgleichung einer Funktion gegeben und der Graph gesucht. In den Kapiteln Lineare Funktionen zeichnen und Parabeln zeichnen erfährst du mehr zu diesem Thema.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!