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Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion

In diesem Kapitel lernen wir, wie man den Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion berechnet.

Um dieses Thema zu verstehen, solltest du bereits die Einführung in die Grenzwertberechnung gelesen haben und wissen, welche Eigenschaften gebrochenrationale Funktionen besitzen.

Wiederholung: Zählergrad und Nennergrad

Für das Verständnis der nachfolgenden Ausführungen müssen dir die Begriffe Zählergrad und Nennergrad, die im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen regelmäßig vorkommen, geläufig sein. Schauen wir uns dazu jeweils ein Beispiel an:

Unter dem Zählergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Zähler vorkommt.

"Höchste Potenz" bedeutet: Die Potenz mit dem größten Exponenten.

Beispiel

Der Zählergrad der Funktion

\[f(x) = \frac{x^{\fcolorbox{Red}{}{\(3\)}} +4x^2 -7}{x^2 + 3}\]

ist 3, da \(x^{\color{red}3}\) die höchste Potenz im Zähler ist.

Unter dem Nennergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Nenner vorkommt.

"Höchste Potenz" bedeutet: Die Potenz mit dem größten Exponenten.

Beispiel

Der Nennergrad der Funktion

\[f(x) = \frac{x^3 +4x^2 -7}{x^{\fcolorbox{Red}{}{\(2\)}} + 3}\]

ist 2, da \(x^{\color{red}2}\) die höchste Potenz im Nenner ist.

Im Folgenden bezeichnet \(n\) den Zählergrad und \(m\) den Nennergrad.

Das Verhalten einer Funktion im Unendlichen erklären

Wenn du das Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen erklären sollst, musst du die beiden Grenzwerte

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_ 0} \qquad \text{und} \qquad \lim_{x \to -\infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_ 0}\]

berechnen.

Wenn du dir die untenstehenden Kenntnisse aneignest, kannst du den Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion ohne zeitaufwändige Berechnungen direkt angeben. Ansonsten führt an einer Wertetabelle wohl kein Weg vorbei.

Grenzwert gegen \(+\infty\) ("plus unendlich")

\[\begin{equation*}
\lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{\(+\infty\)}} \frac{{\color{RoyalBlue}a_n} x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{{\color{RoyalBlue}b_m} x^m + \dots + b_1 x + b_ 0} =
\begin{cases}
0 & \text{für \(n < m\)} \\
\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} & \text{für \(n = m\)} \\
\infty & \text{für \(n > m\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]

Außerdem gilt:

\[\begin{equation*}
\lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{\(+\infty\)}} f(x) =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(n > m\) und \(\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} > 0\)} \\
-\infty & \text{für \(n > m\) und \(\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]

Wir können festhalten: Die Grenzwertberechnung bei gebrochenrationalen Funktionen läuft letztlich auf einen Vergleich des Zählergrads \(n\) mit dem Nennergrad \(m\) hinaus.

Beispiel 1 (\(n < m\))

\[\lim_{x\to+\infty} \frac{3x-4}{2x^2-5} = 0\]

Erklärung 1

Da der Zählergrad \(n\) kleiner ist als Nennergrad \(m\),
strebt die Funktion für \(x \to +\infty\) gegen 0.

Erklärung 2

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & 10 & 100 & 1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & \approx 0,13 & \approx 0,015 & \approx 0,0015 & \cdots
\end{array}

Das Einsetzen immer größerer Werte für \(x\) (wegen \(x \to +\infty\)) führt dazu,
dass sich die Funktionswerte \(f(x)\) immer weiter der Null annähern.

Beispiel 2 (\(n = m\))

\[\lim_{x\to+\infty} \frac{{\color{Red}3}x^2+x-4}{{\color{Red}2}x^2-5} = \frac{{\color{Red}3}}{{\color{Red}2}} = 1,5\]

Erklärung 1

Da der Zählergrad \(n\) genauso groß ist wie der Nennergrad \(m\),
entspricht der Grenzwert gerade den Koeffizienten vor den höchsten Potenzen.

Erklärung 2

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & 10 & 100 & 1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & \approx 1,57 & \approx 1,505 & \approx 1,5005 & \cdots
\end{array}

Das Einsetzen immer größerer Werte für \(x\) (wegen \(x \to +\infty\)) führt dazu,
dass sich die Funktionswerte immer weiter dem Wert \(\frac{{\color{Red}3}}{{\color{Red}2}} = 1,5\) annähern.

Beispiel 3 (\(n > m\))

\[\lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2-4}{2x-5} = +\infty\]

Erklärung 1

Da der Zählergrad \(n\) größer ist als der Nennergrad \(m\) und \(\frac{a_n}{b_m} > 0\) gilt,
strebt die Funktion für \(x \to +\infty\) gegen \(+\infty\).

Erklärung 2

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & 10 & 100 & 1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & \approx 19,7 & \approx 153,8 & \approx 1503,8 & \cdots
\end{array}

Das Einsetzen immer größerer Werte für \(x\) (wegen \(x \to +\infty\)) führt dazu,
dass auch die Funktionswerte immer größere Werte annehmen.

Grenzwert gegen \(-\infty\) ("minus unendlich")

\[\begin{equation*}
\lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{\(-\infty\)}} \frac{{\color{RoyalBlue}a_n} x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{{\color{RoyalBlue}b_m} x^m + \dots + b_1 x + b_ 0} =
\begin{cases}
0 & \text{für \(n < m\)} \\
\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} & \text{für \(n = m\)} \\
??? & \text{für \(n > m\)*}
\end{cases}
\end{equation*}\]

*Gilt \(n > m\) (Zählergrad größer Nennergrad) hängt es von verschiedenen Faktoren ab, ob die gebrochenrationale Funktion gegen \(+\infty\) oder gegen \(-\infty\) strebt. Dies schauen wir uns weiter unten noch genauer an.

Beispiel 1 (\(n < m\))

\[\lim_{x\to-\infty} \frac{3x-4}{2x^2-5} = 0\]

Erklärung 1

Da der Zählergrad \(n\) kleiner ist als der Nennergrad \(m\),
strebt die Funktion für \(x \to -\infty\) gegen 0.

Erklärung 2

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & \approx -0,17 & \approx -0,015 & \approx -0,0015 & \cdots
\end{array}

Das Einsetzen immer kleinerer Werte für \(x\) (wegen \(x \to -\infty\)) führt dazu,
dass sich die Funktionswerte \(f(x)\) immer weiter der Null annähern.

Beispiel 2 (\(n = m\))

\[\lim_{x\to-\infty} \frac{{\color{Red}3}x^2+x-4}{{\color{Red}2}x^2-5} = \frac{{\color{Red}3}}{{\color{Red}2}} = 1,5\]

Erklärung 1

Da der Zählergrad \(n\) genauso groß ist wie der Nennergrad \(m\),
entspricht der Grenzwert gerade den Koeffizienten vor den höchsten Potenzen.

Erklärung 2

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & \approx 1,47 & \approx 1,495 & \approx 1,4995 & \cdots
\end{array}

Das Einsetzen immer kleinerer Werte für \(x\) (wegen \(x \to -\infty\)) führt dazu,
dass sich die Funktionswerte immer weiter dem Wert \(\frac{{\color{Red}3}}{{\color{Red}2}} = 1,5\) annähern.

\(n > m\) [Teil 1]

Falls \(n\) und \(m\) beide gerade sind, gilt:

\[\begin{equation*}
\lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{\(-\infty\)}} f(x) =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(n > m\) und \(\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} > 0\)} \\
-\infty & \text{für \(n > m\) und \(\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]

Beispiel 1

\[\lim_{x\to-\infty} \frac{3x^4-4}{2x^2-5} = +\infty\]

Erklärung 1

Da der Zählergrad \(n\) größer ist als der Nennergrad \(m\) und gleichzeitig \(n\) und \(m\) gerade sind sowie \(\frac{a_n}{b_m} > 0\) gilt, strebt die Funktion für \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\).

Erklärung 2

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & \approx 153,83 & \approx 15003,75 & \approx 1500003,75 & \cdots
\end{array}

Das Einsetzen immer kleinerer Werte für \(x\) (wegen \(x \to -\infty\)) führt dazu,
dass die Funktionswerte \(f(x)\) immer größere Werte annehmen.

Beispiel 2

\[\lim_{x\to-\infty} \frac{3x^4-4}{-2x^2-5} = -\infty\]

Erklärung 1

Da der Zählergrad \(n\) größer ist als der Nennergrad \(m\) und gleichzeitig \(n\) und \(m\) gerade sind sowie \(\frac{a_n}{b_m} < 0\) gilt, strebt die Funktion für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\).

Erklärung 2

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & \approx -146,32 & \approx -14996,25 & \approx -1499996,25 & \cdots
\end{array}

Das Einsetzen immer kleinerer Werte für \(x\) (wegen \(x \to -\infty\)) führt dazu,
dass auch die Funktionswerte \(f(x)\) immer kleinere Werte annehmen.

\(n > m\) [Teil 2]

Falls \(n\) und \(m\) beide ungerade sind, gilt:

\[\begin{equation*}
\lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{\(-\infty\)}} f(x) =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(n > m\) und \(\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} > 0\)} \\
-\infty & \text{für \(n > m\) und \(\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]

Beispiel 1

\[\lim_{x\to-\infty} \frac{3x^3-4}{2x-5} = +\infty\]

Erklärung 1

Da der Zählergrad \(n\) größer ist als der Nennergrad \(m\) und gleichzeitig \(n\) und \(m\) ungerade sind sowie \(\frac{a_n}{b_m} > 0\) gilt, strebt die Funktion für \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\).

Erklärung 2

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & \approx 120,16 & \approx 14634,17 & \approx 1496259,35 & \cdots
\end{array}

Das Einsetzen immer kleinerer Werte für \(x\) (wegen \(x \to -\infty\)) führt dazu,
dass die Funktionswerte \(f(x)\) immer größere Werte annehmen.

Beispiel 2

\[\lim_{x\to-\infty} \frac{3x^3-4}{-2x-5} = -\infty\]

Erklärung 1

Da der Zählergrad \(n\) größer ist als der Nennergrad \(m\) und gleichzeitig \(n\) und \(m\) ungerade sind sowie \(\frac{a_n}{b_m} < 0\) gilt, strebt die Funktion für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\).

Erklärung 2

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & \approx -200,27 & \approx -15384,64 & \approx -1503759,4 & \cdots
\end{array}

Das Einsetzen immer kleinerer Werte für \(x\) (wegen \(x \to -\infty\)) führt dazu,
dass auch die Funktionswerte \(f(x)\) immer kleinere Werte annehmen.

\(n > m\) [Teil 3]

Falls \(n\) und \(m\) verschieden (d.h. 1x gerade und 1x ungerade) sind, gilt:

\[\begin{equation*}
\lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{\(-\infty\)}} f(x) =
\begin{cases}
-\infty & \text{für \(n > m\) und \(\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} > 0\)} \\
+\infty & \text{für \(n > m\) und \(\frac{{\color{RoyalBlue}a_n}}{{\color{RoyalBlue}b_m}} < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]

Beispiel 1

\[\lim_{x\to-\infty} \frac{3x^2-4}{2x-5} = -\infty\]

Erklärung 1

Da der Zählergrad \(n\) größer ist als der Nennergrad \(m\) und gleichzeitig \(n\) gerade und \(m\) ungerade ist sowie \(\frac{a_n}{b_m} > 0\) gilt, strebt die Funktion für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\).

Erklärung 2

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & \approx -11,84 & \approx -146,32 & \approx -1496,26 & \cdots
\end{array}

Das Einsetzen immer kleinerer Werte für \(x\) (wegen \(x \to -\infty\)) führt dazu,
dass auch die Funktionswerte \(f(x)\) immer kleinere Werte annehmen.

Beispiel 2

\[\lim_{x\to-\infty} \frac{3x^2-4}{-2x-5} = +\infty\]

Erklärung 1

Da der Zählergrad \(n\) größer ist als der Nennergrad \(m\) und gleichzeitig \(n\) gerade und \(m\) ungerade ist sowie \(\frac{a_n}{b_m} < 0\) gilt, strebt die Funktion für \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\).

Erklärung 2

\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & \approx 19,73 & \approx 153,83 & \approx 1503,76 & \cdots
\end{array}

Das Einsetzen immer kleinerer Werte für \(x\) (wegen \(x \to -\infty\)) führt dazu,
dass die Funktionswerte \(f(x)\) immer größere Werte annehmen.

Grenzwertberechnung von A bis Z

Im Zusammenhang mit der Berechnung von Grenzwerten gibt es einige Kenntnisse, die man sich aneignen sollte. Diese werden in den folgenden Kapiteln ausführlich erläutert.

Grenzwerte <- Grundlagen
Rechenregeln für Grenzwerte  
Grenzwert einer Potenzfunktion \[\lim_{x\to\infty} x^n\]
Grenzwert einer Exponentialfunktion \[\lim_{x\to\infty} a^x\]
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion \[\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_ 0}\]
Regel von l'Hospital \[\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{0}{0} \quad \text{oder } \frac{\infty}{\infty}\]
Anwendungen  
Stetigkeit einer Funktion \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!