Mathebibel.de / Erklärungen / Analysis / Grenzwert / Rechenregeln für Grenzwerte

Rechenregeln für Grenzwerte

Existieren die beiden Grenzwerte

\[\lim_{x\to\infty} f(x) = a \qquad \text{und} \qquad \lim_{x\to\infty} g(x) = b\]

so gelten folgende Rechenregeln

1. Regel
("Faktorregel")

Der Grenzwert einer Funktion multipliziert mit einer konstanten Zahl \(c\) entspricht der konstanten Zahl \(c\) multipliziert mit dem Grenzwert der Funktion.

\[\lim_{x\to\infty} c \cdot f(x) = c \cdot \left(\lim_{x\to\infty} f(x)\right) = \fcolorbox{Red}{}{\(c \cdot a\)}\]

2. Regel
("Summenregel")

Der Grenzwert einer Summe zweier Funktionen entspricht der Summe ihrer Grenzwerte.

\[\lim_{x\to\infty}\left[f(x)+g(x)\right] = \lim_{x\to\infty}f(x)+\lim_{x\to\infty}g(x) = \fcolorbox{Red}{}{\(a + b\)}\]

3. Regel
("Differenzregel")

Der Grenzwert einer Differenz zweier Funktionen entspricht der Differenz ihrer Grenzwerte.

\[\lim_{x\to\infty}\left[f(x)-g(x)\right] = \lim_{x\to\infty}f(x)-\lim_{x\to\infty}g(x) = \fcolorbox{Red}{}{\(a - b\)}\]

4. Regel
("Produktregel")

Der Grenzwert eines Produktes zweier Funktionen entspricht dem Produkt ihrer Grenzwerte.

\[\lim_{x\to\infty}\left[f(x) \cdot g(x)\right] = \lim_{x\to\infty}f(x) \cdot \lim_{x\to\infty}g(x) = \fcolorbox{Red}{}{\(a \cdot b\)}\]

5. Regel
("Quotientenregel")

Der Grenzwert eines Quotienten zweier Funktionen entspricht dem Quotienten ihrer Grenzwerte.

\[\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to\infty}f(x)}{\lim_{x\to\infty}g(x)} = \fcolorbox{Red}{}{\(\frac{a}{b}\)}, \quad\text{falls } b \neq 0\]

Neben diesen fünf gibt es noch einige weitere Regeln, die man beherrschen sollte.

6. Regel
("Logarithmusregel")

Wie berechnet man den Grenzwert einer Logarithmusfunktion?

\[\lim_{x\to\infty} \log_{\alpha} f(x) = \log_{\alpha} \left(\lim_{x\to\infty} f(x)\right) = \fcolorbox{Red}{}{\(\log_{\alpha} a\)} \]

7. Regel
("Potenzregel 1")

Wie berechnet man den Grenzwert zwischen zwei Funktionen, wobei die eine die Basis und die andere der Exponent einer Potenz ist?

\[\lim_{x\to\infty} f(x)^{g(x)} = \left(\lim_{x\to\infty} f(x)\right)^{\lim_{x\to\infty} g(x)} = \fcolorbox{Red}{}{\(a^b\)}\]

..wenn gilt:

\[\lim_{x\to\infty} f(x) \neq 0 \qquad \text{und} \qquad \lim_{x\to\infty} g(x) \neq 0\]

8. Regel
("Potenzregel 2")

Wie berechnet man den Grenzwert einer Funktion, die potenziert wird?

\[\lim_{x\to\infty} \left( f(x)\right)^p = \left(\lim_{x\to\infty}  f(x)\right)^p = \fcolorbox{Red}{}{\(a^p\)}\]

9. Regel
("Potenzregel 3")

Wie berechnet man den Grenzwert einer Wurzelfunktion?

\[\lim_{x\to\infty} \sqrt[p]{f(x)} = \sqrt[p]{\lim_{x\to\infty}  f(x)} = \fcolorbox{Red}{}{\(\sqrt[p]{a}\)}\]

Analyse möglicher Lösungen

Der Grenzwert einer Funktion ist entweder

  • eine relle Zahl \(c\) (z.B. 3),
  • \(+\infty\),
  • \(-\infty\),
  • oder nicht existent

Bei praktischen Berechnungen treten oft zwei (oder mehr) Grenzwerte in einem Term auf. Die Frage ist dann, welcher Grenzwert gilt für den gesamten Term bzw. wie lässt sich dieser Grenzwert aus den vorhandenen Grenzwerten berechnen. In der folgenden Tabelle findest du einen Übersicht über alle möglichen Konstellationen.

Summe und Differenz

\((+\infty) + c= +\infty\)

\((-\infty) + c= -\infty\)

 

\((+\infty) - c= +\infty\)

\((-\infty) - c= -\infty\)

 

\((+\infty) + (+\infty) = +\infty\)

\((-\infty) + (-\infty) = -\infty\)

 

\(-(-\infty) = +\infty\)

Produkt

\(\begin{equation*}
c \cdot (+\infty) =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(c > 0\)} \\
-\infty & \text{für \(c < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

 

\(\begin{equation*}
c \cdot (-\infty) =
\begin{cases}
-\infty & \text{für \(c > 0\)} \\
+\infty & \text{für \(c < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

 

\((+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty\)

\((+\infty) \cdot (-\infty) = -\infty\)

\((-\infty) \cdot (-\infty) = +\infty\)

Division

\[\frac{c}{+\infty} = \frac{k}{-\infty} = 0\]

\[\frac{0}{+\infty} = \frac{0}{-\infty} = 0\]

\[\begin{equation*}
\frac{c}{0} =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(c > 0\)} \\
-\infty & \text{für \(c < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]

\[\frac{+\infty}{0} = +\infty \qquad \frac{-\infty}{0} = -\infty\]

Potenz

\(\begin{equation*}
c^{+\infty} =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(c > 1\)} \\
0 & \text{für \(0 \leq c < 1\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

\(\begin{equation*}
c^{-\infty} =
\begin{cases}
0 & \text{für \(c > 1\)} \\
+\infty & \text{für \(0 \leq c < 1\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

\(\begin{equation*}
(+\infty)^c =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(c > 0\)} \\
0 & \text{für \(c < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

\((+\infty)^{+\infty} = +\infty\)

\((+\infty)^{-\infty} = 0\)

Grenzwertberechnung von A bis Z

Im Zusammenhang mit der Berechnung von Grenzwerten gibt es einige Kenntnisse, die man sich aneignen sollte. Diese werden in den folgenden Kapiteln ausführlich erläutert.

Grenzwerte <- Grundlagen
Rechenregeln für Grenzwerte  
Grenzwert einer Potenzfunktion \[\lim_{x\to\infty} x^n\]
Grenzwert einer Exponentialfunktion \[\lim_{x\to\infty} a^x\]
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion \[\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_ 0}\]
Regel von l'Hospital \[\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{0}{0} \quad \text{oder } \frac{\infty}{\infty}\]
Anwendungen  
Stetigkeit einer Funktion \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!