Rechenregeln für Grenzwerte
In diesem Kapitel schauen wir uns die Rechenregeln für Grenzwerte an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein Grenzwert?
Grenzwerte berechnen
Existieren die beiden Grenzwerte
$$ \lim_{x\to\infty} f(x) = a \qquad \text{und} \qquad \lim_{x\to\infty} g(x) = b $$
so gelten folgende Rechenregeln:
Faktorregel
$$ \lim_{x\to\infty} c \cdot f(x) = c \cdot \left(\lim_{x\to\infty} f(x)\right) = \fcolorbox{Red}{}{$c \cdot a$} $$
Der Grenzwert einer Funktion multipliziert mit einer konstanten Zahl $c$ entspricht der konstanten Zahl $c$ multipliziert mit dem Grenzwert der Funktion.
Summenregel
$$ \lim_{x\to\infty}\left[f(x)+g(x)\right] = \lim_{x\to\infty}f(x)+\lim_{x\to\infty}g(x) = \fcolorbox{Red}{}{$a + b$} $$
Der Grenzwert einer Summe zweier Funktionen entspricht der Summe ihrer Grenzwerte.
Differenzregel
$$ \lim_{x\to\infty}\left[f(x)-g(x)\right] = \lim_{x\to\infty}f(x)-\lim_{x\to\infty}g(x) = \fcolorbox{Red}{}{$a - b$} $$
Der Grenzwert einer Differenz zweier Funktionen entspricht der Differenz ihrer Grenzwerte.
Produktregel
$$ \lim_{x\to\infty}\left[f(x) \cdot g(x)\right] = \lim_{x\to\infty}f(x) \cdot \lim_{x\to\infty}g(x) = \fcolorbox{Red}{}{$a \cdot b$} $$
Der Grenzwert eines Produktes zweier Funktionen entspricht dem Produkt ihrer Grenzwerte.
Quotientenregel
$$ \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to\infty}f(x)}{\lim_{x\to\infty}g(x)} = \fcolorbox{Red}{}{$\frac{a}{b}$}, \quad\text{falls } b \neq 0 $$
Der Grenzwert eines Quotienten zweier Funktionen entspricht dem Quotienten ihrer Grenzwerte.
Neben diesen fünf gibt es noch einige weitere Regeln, die man beherrschen sollte:
Logarithmusregel
Wie berechnet man den Grenzwert einer Logarithmusfunktion?
$$ \lim_{x\to\infty} \log_{\alpha} f(x) = \log_{\alpha} \left(\lim_{x\to\infty} f(x)\right) = \fcolorbox{Red}{}{$\log_{\alpha} a$} $$
Potenzregel 1
Wie berechnet man den Grenzwert zwischen zwei Funktionen, wobei die eine die Basis und die andere der Exponent einer Potenz ist?
$$ \lim_{x\to\infty} f(x)^{g(x)} = \left(\lim_{x\to\infty} f(x)\right)^{\lim_{x\to\infty} g(x)} = \fcolorbox{Red}{}{$a^b$} $$
Voraussetzung:
$$ \lim_{x\to\infty} f(x) \neq 0 \text{ und } \lim_{x\to\infty} g(x) \neq 0 $$
Potenzregel 2
Wie berechnet man den Grenzwert einer Funktion, die potenziert wird?
$$ \lim_{x\to\infty} \left( f(x)\right)^p = \left(\lim_{x\to\infty} f(x)\right)^p = \fcolorbox{Red}{}{$a^p$} $$
Potenzregel 3
Wie berechnet man den Grenzwert einer Wurzelfunktion?
$$ \lim_{x\to\infty} \sqrt[p]{f(x)} = \sqrt[p]{\lim_{x\to\infty} f(x)} = \fcolorbox{Red}{}{$\sqrt[p]{a}$} $$
Mit Grenzwerten rechnen
Der Grenzwert einer Funktion ist entweder
- eine relle Zahl
$c$(z. B.$3$), $+\infty$,$-\infty$,- oder nicht existent
Bei praktischen Berechnungen treten oft zwei (oder mehr) Grenzwerte in einem Term auf. Die Frage ist dann, welcher Grenzwert für den gesamten Term gilt bzw. wie sich dieser Grenzwert aus den vorhandenen Grenzwerten berechnen lässt. In der folgenden Tabelle findest du einen Übersicht über alle möglichen Konstellationen:
| Summen und Differenzen |
$$(+\infty) + c= +\infty$$ |
$$(-\infty) + c= -\infty$$ |
$$(+\infty) - c= +\infty$$ |
$$(-\infty) - c= -\infty$$ |
$$(+\infty) + (+\infty) = +\infty$$ |
$$(-\infty) + (-\infty) = -\infty$$ |
$$-(-\infty) = +\infty$$ |
| Produkte |
$$\begin{equation*}c \cdot (+\infty) =\begin{cases}+\infty & \text{für } c > 0 \\[5px]-\infty & \text{für } c < 0\end{cases}\end{equation*}$$ |
$$\begin{equation*}c \cdot (-\infty) =\begin{cases}-\infty & \text{für } c > 0 \\[5px]+\infty & \text{für } c < 0\end{cases}\end{equation*}$$ |
$$(+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$$ |
$$(+\infty) \cdot (-\infty) = -\infty$$ |
$$(-\infty) \cdot (-\infty) = +\infty$$ |
| Quotienten |
$$\frac{c}{+\infty} = \frac{c}{-\infty} = 0$$ |
$$\frac{0}{+\infty} = \frac{0}{-\infty} = 0$$ |
$$\begin{equation*}\frac{c}{0} =\begin{cases}+\infty & \text{für } c > 0 \\[5px]-\infty & \text{für } c < 0\end{cases}\end{equation*}$$ |
$$\frac{+\infty}{0} = +\infty \qquad \frac{-\infty}{0} = -\infty$$ |
| Potenzen |
$$\begin{equation*}c^{+\infty} =\begin{cases}+\infty & \text{für } c > 1 \\[5px]0 & \text{für } 0 \leq c < 1\end{cases}\end{equation*}$$ |
$$\begin{equation*}c^{-\infty} =\begin{cases}0 & \text{für } c > 1 \\[5px]+\infty & \text{für } 0 \leq c < 1\end{cases}\end{equation*}$$ |
$$\begin{equation*}(+\infty)^c =\begin{cases}+\infty & \text{für } c > 0 \\[5px]0 & \text{für } c < 0\end{cases}\end{equation*}$$ |
$$(+\infty)^{+\infty} = +\infty$$ |
$$(+\infty)^{-\infty} = 0$$ |
