Halbwertszeit

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Halbwertszeit versteht.

Notwendiges Vorwissen: Exponentielle Abnahme

Die Halbwertszeit \(t_H\) ist die Zeitspanne,
nach der sich der Anfangsbestand \(B(0)\) halbiert hat.

Beispiel

Im Labor untersuchen wir das Verhalten von 1000 Gramm Caesium.
Jedes Jahr nimmt die Menge um 2,284 % ab. Berechne die Halbwertszeit.

Ansatz: \(B(t) = B(0) \cdot q^t\)

Anfangsbestand \(B(0) = 1000\)

Abnahmefaktor \(q = 1 - \frac{p}{100} = 1 - \frac{2,284}{100} = 1 - 0,02284 = 0,97716\)

\(\Rightarrow B(t) = 1000 \cdot 0,97716^t\)

Die Menge halbiert sich, wenn gilt: \(0,97716^t = 0,5\).
Dabei handelt es sich um eine Exponentialgleichung.

\(\begin{align*}
0,97716^t &= 0,5 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}}\\[5pt]
\ln(0,97716^t) &= \ln(0,5) &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz anwenden}}\\[5pt]
t \cdot \ln(0,97716) &= \ln(0,5) &&{\color{gray}| :\ln(0,97716)}\\[5pt]
t &= \frac{\ln(0,5)}{\ln(0,97716)}\\[5pt]
t &\approx 30
\end{align*}\)

Nach ungefähr 30 Jahren hat sich die Menge halbiert.

Formel für die Halbwertszeit \(t_H\)
\[t_H = \frac{\ln(0,5)}{\ln(q)}\]

\(q\) ist der Abnahmefaktor: \(q = 1 - \frac{p}{100}\).

Um die Halbwertszeit zu berechnen, müssen wir nur den Prozentsatz \(p\) (= Abnahmerate) kennen, der angibt, um wie viel Prozent der Bestand pro Zeiteinheit (z. B. Jahre) abnimmt.

Verwandt mit der Halbwertszeit \(t_H\) ist die Verdopplungszeit \(t_V\).

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!